导数专项训练-2024届高三数学一轮复习

导数练习10 一、单选题 1．已知曲线存在过坐标原点的切线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．定义在上的函数，是它的导函数，且恒有成立．则（    ） A． B． C． D． 3．已知函数在上为增函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．点M是曲线上的动点，则点M到直线的距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 5．若过点可以作曲线的两条切线，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．设定义在上的奇函数，其中为自然对数的底数，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 7．已知函数在其定义域内既有极大值也有极小值，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 8．定义：设是的导函数，是函数的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”且“拐点”就是三次函数图象的对称中心.已知函数图象的对称中心为，则下列说法中正确的有（    ） A．， B．函数的极大值与极小值之和为2 C．函数有三个零点 D．在区间上单调递减 9．关于函数，下列判断正确的是（    ） A．的极大值点是 B．函数有且只有个零点 C．存在实数，使得成立 D．对任意两个正实数，，且，若，则 三、填空题 10．已知函数存在两个异号的零点，则k的取值范围是 ． 11．已知，函数，其中为自然对数的底数．若函数恰有4个零点，则的取值范围是 ． 四、解答题 12．已知函数． (1)若，求函数的极值； (2)若有两个零点，求m的取值范围． 13．已知函数． (1)求曲线在处的切线方程； (2)（），若对任意，均存在，使得，求实数a的取值范围． 14．已知函数． (1)讨论函数的单调性； (2)当时，若且，求证：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．B 【分析】设出切点横坐标，利用导数的几何意义求得切线方程，根据切线经过原点得到关于的方程，根据此方程应有实数根，求得的取值范围. 【详解】∵， ∴， 设切点为，则，切线斜率， ∴切线方程为， ∵切线过原点， ∴，整理得： ∵存在过坐标原点的切线， ∴，解得或， ∴实数的取值范围是. 故选：B. 2．A 【分析】根据条件构造函数，求函数的导数，利用函数的单调性，一一判断各选项，即得到结论． 【详解】当， 则不等式等价为， 即， 设，， 则， 即函数在上单调递增， 则，，，， 即，， ，， 则，故A正确； ，得不出，故B错误． ，故C错误． ，故D错误． 故选：A． 3．D 【分析】根据函数在区间上的单调性可得在上恒成立，即在上恒成立，利用换元法，结合二次函数的性质求出其最大值即可. 【详解】因为在上为增函数， 所以在上恒成立， 即在上恒成立， 令，则. 设，则， 所以当时，取最大值为，所以. 故选：D. 4．C 【分析】利用导数的几何意义及点到直线的距离计算即可. 【详解】因为， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减． 由，所以， 易得函数为在上单调递增函数，为零点， 此时M的坐标为， 由点到直线的距离公式可得M到直线的距离的最小值为. 故选: 5．D 【分析】设出切点坐标，根据导数的几何意义，确定，化简可得，结合题意有，解不等式即可求出的取值范围. 【详解】令，则有，设过点作曲线的切线， 切点为，根据题意有，即， 又，可得，因为，所以上式可化为 ，整理有：，因为过点可以作曲线 的两条切线，所以方程有两解，所以，即， 解得或. 故选：D 6．A 【分析】利用复合函数的单调性用导数先证明单调递增，再由，且单调递增，得到是上单调递增的奇函数，再利用抽象函数解不等式即可. 【详解】函数是定义域为的奇函数，设， 则单调递增， 所以当时，，且单调递增， 当时，，且单调递增， 因此是上的增函数， 结合是上的奇函数，可得是上单调递增的奇函数． 由， 可得， 因此， 解得， 故选：A． 【点睛】方法点睛：构造函数，利用导数研究函数的单调性，结合奇函数的性质得出原函数的单调性，再利用单调性解抽象函数解不等式. 7．D 【分析】将问题转化为方程在有两个不相等实根，即有两个不同的交点，令，利用数形结合法求解． 【详解】解：，则， 要使函数在其定义域内既有极大值也有极小值， 只需方程在有两个不相等实根． 即，令，则． 当，， 当，， 在递增，在递减，当，， ， 其图象如下： ，． 故选：D． 8．AB 【分析】根据题意，对函数进行二次求导，可得“拐点”，而“拐点”同时也满足函数解析式，这样就可以得到参数的值，进而根据三次函数的图象与性质，可得正确答案. 【详解】由，可得，， 令，得， 因为函数图象的对称中心为， 因此，解得，