湖南省长沙市第一中学2023-2024学年高二上学期期末考试数学试题

长沙市第一中学2023—2024学年度高二第一学期期末考试 数学 时量：120分钟 满分：150分 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 第19届亚运会正在杭州举行，运动员甲就近选择A餐厅或者B餐厅就餐，第一天随机地选择一餐厅用餐，如果第一天去A餐厅，那么第二天去A餐厅的概率为0.7；如果第一天去B餐厅，那么第二天去A餐厅的概率为0.5，运动员甲第二天去A餐厅用餐的概率为（ ） A. 0.75 B. 0.6 C. 0.55 D. 0.45 3. 在平面直角坐标系中，已知点为角终边上的点，则（ ） A B. C. D. 4. 设数列满足，（），若数列是常数列，则 A. B. C. D. 5. 某地政府召集5家企业的负责人开会，其中甲企业有2人到会，其余4家企业各有1人到会，会上有3人发言，则这3人来自3家不同企业的可能情况的种数为 A. 14 B. 16 C. 20 D. 48 6. 已知的展开式中所有项的系数之和为64，则展开式中的系数为（ ） A. B. 1215 C. 135 D. 7. 已知，，，则（ ） A. B. C D. 8. 已知双曲线的左右焦点分别为、，过的直线与曲线的左右两支分别交于点，且，则曲线C的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9. 设是各项为正数的等比数列，q是其公比，是其前n项的积，且，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 与均为的最大值 10. 如果存在定义在R上的奇函数，对任意两个不相等的实数，都有，则称函数为“H函数”，下列函数为H函数的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知圆C：点P在直线l：上运动，以线段PC为直径的圆D与圆C相交于A，B两点，则下列结论正确的是（ ） A. 直线l与圆相离 B. 圆D的面积的最小值为 C. 弦长的最大值为2 D. 直线AB过定点 12. 如图，已知正方体的棱长为2，分别是棱的中点，是侧面内（含边界）的动点，则下列说法正确的是（ ） A. 若直线与平面平行，则三棱锥体积为 B. 若直线与平面平行，则直线上存在唯一的点，使得与始终垂直 C. 若，则的最小值为 D. 若，则的最大值为 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13. 甲、乙、丙、丁四名同学报名参加淮南文明城市创建志愿服务活动，服务活动共有“走进社区”、“环境监测”、“爱心义演”、“交通宣传”等四个项目，每人限报其中一项，记事件为“4名同学所报项目各不相同”，事件为“只有甲同学一人报走进社区项目”，则的值为______. 14. 已知函数，若曲线在点处的切线与直线垂直，则切线的方程为_____________． 15. 记函数的最小正周期为T．若为的极小值点，则的最小值为__________． 16. 设抛物线C：y2=4x的焦点为F，过F的直线l与抛物线交于A，B两点，M为抛物线C的准线与x轴的交点，若tan ∠AMB=2，则|AB|=____. 四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 已知数列的前n项和为，，等比数列的公比为3，． （1）求数列，的通项公式； （2）令求数列的前7项和． 18. 已知中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，． （1）求角A大小； （2）若成等差数列，，求的面积． 19. 某袋中装有大小相同、质地均匀的6个球，其中4个黑球和2个白球．从袋中随机取出2个球，记取出白球的个数为X． （1）写出X的分布列，并求出和的值； （2）若取出一个白球得一分，取出一个黑球得两分，最后得分为Z，求出和的值． 20. 如图，在多面体中，四边形是矩形，，平面ABCD，，． （1）证明：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 21. 在平面直角坐标系中，动圆与圆：内切，且与圆：外切，记动圆的圆心的轨迹为． （1）求轨迹的方程； （2）已知分别为轨迹的左、右顶点，点不与重合．直线与直线交于点，与轴交于点，直线与直线的交点为，若四点共圆．求实数的值． 22. 已知函数的最小值为1． （1）求实数a的值； （2）若函数，数列满足，，证明：． 长沙市第一中学2023—2024学年度高二第一学期期末考试 数学 时量：120分钟 满分：150分 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选