专题2.3 不等式基本性质（知识梳理与考点分类讲解）-2023-2024学年八年级数学下册基础知识专项突破讲与练（北师大版）

专题2.3 不等式基本性质（知识梳理与考点分类讲解） 【知识点一】不等式的基本性质 1.基本性质1 不等式的两边都加（或减）同一个整式，不等号的方向不变，即如果a＞b，那么a±b＞b±c. 2.基本性质2 不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，即如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc（或＞）. 3.基本性质3 不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，即如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc（或）. 4.不等式基本性质与等式的基本性质关系 类别 不同点 相同点 不等式 两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向要改变 （1） 两边都加（或减）同一个整式，不等式和等式仍成立； （2） 两边都乘（或除以）同一个正数，不等式和等式仍成立. 等式 两边都乘（或除以）同一个负数，等式仍然成立 特别解读： 1.不等式的三条基本性质是不等式变形的依据.运用不等式的基本性质时，不等式的两边要同时进行相同的变形. 2.在不等式的变形中，还经常用到下列性质： （1）对称性.若a＞b，则b＜a. （2）传递性.若a＞b，b＞c，则a＞c. 【知识点二】不等式的基本性质的简单应用 1.将不等式化为x＞a（x≥a）或x＜a（x≤a）（a为常数）的形式的依据 对于不等式两边多余的项，用不等式的基本性质1消去，而不等式的基本性质2、基本性质3可将不等式中x的系数化为1. 2.利用不等式的基本性质将不等式变形的步骤 （1）用不等式的基本性质1将不等式变成ax＞b（ax≥b）或ax＜b（ax≤b）的形式； （2）用不等式的基本性质2,3将不等式变成x（x≥）或x＜（x≤）的形式. 特别解读： 1. 利用不等式的基本性质1，可使含未知数的项在不等号的一边，常数项在不等号的另一边. 2. 利用不等号的基本性质2或基本性质3可把未知数的系数化为1. 【考点目录】 【考点1】利用不等式的基本性质求解集； 【考点2】利用不等式的基本性质比较大小； 【考点3】利用不等式基本性质求取值范围；【考点4】利用数形结合思想识别不等式. 【考点1】利用不等式基本性质求解集； 【例1】（2023下·河南平顶山·八年级校联考阶段练习）根据不等式的性质，把下列不等式化为“”或“”的形式（a为常数）． （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据不等式的性质1得到，再根据不等式的性质2得到； （2）根据不等式的性质2得到，再根据不等式的性质1得到，再根据不等式的性质3得到． （1）解：不等式两边同时加得，， 不等号两边同时除以5得，； （2）解：不等号两边同时乘以3得，， 不等号两边同时减1得，， 不等号两边同时除以得，． 【点拨】本题考查不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键． 【变式1】（2024上·重庆沙坪坝·八年级重庆八中校考期末）如果不等式的解集为，则必须满足的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了不等式的基本性质，根据不等式两边同时除以一个负数，不等号的方向改变，解答即可． 解：∵不等式的解集为， ∴， 解得， 故选：D． 【变式2】（2023下·福建泉州·七年级校考期中）若不等式，两边同除以，得，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】运用不等式的性质解题即可． 解：由题可知：， 解得：． 【点拨】本题考查了不等式的基本性质，熟知不等式两边同时乘或除一个负数，不等式的符号要改变，是解本题的关键． 【考点2】利用不等式的基本性质比较大小； 【例2】（2023下·北京大兴·七年级统考期末）比较与的大小，并说明理由． 【答案】，理由见分析 【分析】两个整式相减，用它们的差和零作比较即可做出判断． 解：， 理由如下： ， ， ， ， ， ， ， ． 【点拨】本题考查了整式加减应用，不等式的性质，准确算出两个整式的差和零作比较是解答本题的关键． 【变式1】（2023·全国·九年级专题练习）已知实数x，y满足2x-3y=4，并且x≥-1，y≤2，则x-y的最大值是（　　） A．1 B． C． D．3 【答案】D 解：∵2x-3y=2x-2y-y=2（x-y）-y=4， ∴2（x-y）=y+4，∴x-y=． ∵y≤2，∴x-y==3， 即x-y的最大值是3． 【变式2】（2023上·全国·八年级专题练习）当时，a，，，之间的大小关系是 （用“＞”连接）． 【答案】 【分析】根据a的取值范围利用不等式的基本性质判断出，，进而得出，即可得出结论． 解：∵， ∴，， ∴，即， ∴，即， 故答案为：． 【点拨】本题考查的是不等式的性质，熟知不等式的基本性质是解答此题的关键． 【考点3】利用不等式基本性质求取值范围； 【例3】（2023下