（精校版）上海市理数卷文档版（有答案）-2015年普通高等学校招生统一考试

2015年普通高等学校招生全国统一考试 上海 数学试卷（理工农医类） 一、填空题（本大题共有14题，满分56分．）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对4分，否则一律得零分． 1．设全集 ．若集合 ， ，则 ． 2．若复数 满足 ，其中 为虚数单位，则 ． 3．若线性方程组的增广矩阵为 、解为 ，则 ． 4．若正三棱柱的所有棱长均为 ，且其体积为 ，则 ． 5．抛物线 （ ）上的动点 到焦点的距离的最小值为 ，则 ． 6．若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为 ，则其母线与轴的夹角的大小为 ． 7.方程 的解为 ． 8.在报名的 名男教师和 名女教师中，选取 人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为 （结果用数值表示）． 9.已知点 和 的横坐标相同， 的纵坐标是 的纵坐标的 倍， 和 的轨迹分别为双曲线 和 ．若 的渐近线方程为 ，则 的渐近线方程为 ． 10.设 为 ， 的反函数，则 的最大值为 ． 11.在 的展开式中， 项的系数为 （结果用数值表示）． 12.赌博有陷阱．某种赌博每局的规则是：赌客先在标记有 ， ， ， ， 的卡片中随机摸取一张，将卡片上的数字作为其赌金（单位：元）；随后放回该卡片，再随机摸取两张，将这两张卡片上数字之差的绝对值的 倍作为其奖金（单位：元）．若随机变量 和 分别表示赌客在一局赌博中的赌金和奖金，则 （元）． 13.已知函数 ．若存在 ， ， ， 满足 ，且 （ ， ），则 的最小值 为 ． 14.在锐角三角形 中， ， 为边 上的点， 与 的面积分别为 和 ．过 作 于 ， 于 ，则 ． 二、选择题（本大题共有4题，满分20分．）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分． 15．设 ， ，则“ 、 中至少有一个数是虚数”是“ 是虚数”的（ ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 16．已知点 的坐标为 ，将 绕坐标原点 逆时针旋转 至 ，则点 的纵坐标为（ ） A． B． C． D． 17．记方程①： ，方程②： ，方程③： ，其中 ， ， 是正实数．当 ， ， 成等比数列时，下列选项中，能推出方程③无实根的是（ ） A．方程①有实根，且②有实根 B．方程①有实根，且②无实根 C．方程①无实根，且②有实根 D．方程①无实根，且②无实根 18．设 是直线 （ ）与圆 在第一象限的交点，则极限 （ ） A． B． C． D． 三、解答题（本大题共有5题，满分74分．）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤． 19.（本题满分12分）如图，在长方体 中， ， ， 、 分别是 、 的中点．证明 、 、 、 四点共面，并求直线 与平面 所成的角的大小. 20.（本题满分14分）本题共有2小题，第小题满分6分，第小题满分8分 如图， ， ， 三地有直道相通， 千米， 千米， 千米.现甲、乙两警员同时从 地出发匀速前往 地，经过 小时，他们之间的距离为 （单位：千米）.甲的路线是 ，速度为 千米/小时，乙的路线是 ，速度为 千米/小时.乙到达 地后原地等待.设 时乙到达 地. （1）求 与 的值； （2）已知警员的对讲机的有效通话距离是 千米.当 时，求 的表达式，并判断 在 上得最大值是否超过 ？说明理由. 21.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题8分. 已知椭圆 ，过原点的两条直线 和 分别于椭圆交于 、 和 、 ，记得到的平行四边形 的面积为 . （1）设 ， ，用 、 的坐标表示点 到直线 的距离，并证明 ； （2）设 与 的斜率之积为 ，求面积 的值. 22.（本题满分16分）本题共有3个小题.第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分. 已知数列 与 满足 ， . （1）若 ，且 ，求数列 的通项公式； （2）