江苏省四校联合2024届高三新题型适应性考试数学试题

江苏省四校联合2024届高三新题型适应性考试 数 学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．使用斜二测画法作一个五边形的直观图，则直观图的面积是原来五边形面积的 A．倍 B．倍 C．倍 D．倍 2．已知，是两个不共线的单位向量，向量，则“且”是“”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．已知等差数列的前项和为，，，则 A． B． C． D． 4．设为虚数单位，若复数为纯虚数，则 A． B． C． D． 5．甲、乙、丙、丁四人参加书法比赛，四人对于成绩排名的说法如下．甲说：“乙在丙之前”，乙说：“我在第三名”，丙说：“丁不在第二名，也不在第四名”，丁说：“乙在第四名”．若四人中只有一个人的说法是错误的，则甲的成绩排名为 A．第一名 B．第二名 C．第三名 D．第四名 6．已知为抛物线上一点，过作圆的两条切线，切点分别为，，则的最小值为 A． B． C． D． 7．若全集为，定义集合与的运算：，则 A． B． C． D． 8．设，，，则 A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．若，为正整数且，则 A． B． C． D． 10．设函数，则 A．是偶函数 B．在上单调递增 C．的最小值为 D．在上有个零点 11．已知圆：，点是所在平面内一定点，点是上的动点，若线段的中垂线交直线于点，则的轨迹可能为 A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．圆 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．有一组从小到大排列的数据：3，5，，8，9，10，若其极差与平均数相等，则这组数据的中位数为__________． 13．围棋起源于中国，至今已有多年的历史．在围棋中，对于一些复杂的死活问题，比如在判断自己单个眼内的气数是否满足需求时，可利用数列通项的递推方法来计算．假设大 小为的眼有口气，大小为的眼有口气，则与满足的关系是 ，， 则的通项公式为__________． 14．若，，，四点均在同一球面上，，是边长为的等边三角形，则面积的最大值为__________，四面体体积取最大值时，球的表面积为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 在四棱锥中，底面是边长为的正方形，，二面角为直二面角． （1）证明：； （2）若，求直线与平面所成角的正弦值． 16．（15分） 在游戏中，玩家可通过祈愿池获取新角色和新武器．某游戏的角色活动祈愿池的祈愿规则为：①每次祈愿获取五星角色的概率；②若连续次祈愿都没有获取五星角色，那么第次祈愿必定通过“保底机制”获取五星角色；③除触发“保底机制”外，每次祈愿相互独立．设表示在该祈愿池中连续祈愿直至获取五星角色为止的祈愿次数． （1）求的概率分布； （2）求的数学期望． 参考数据：． 17．（15分） 已知函数，其中． （1）若，证明； （2）讨论的极值点的个数． 18．（17分） 已知等轴双曲线的顶点分别为椭圆：的焦点，． （1）求的方程； （2）若为上异于顶点的任意一点，直线，与椭圆的交点分别为，与，，求的最小值． 19．（17分） 交比是射影几何中最基本的不变量，在欧氏几何中亦有应用．设，，，是直线上互异且非无穷远的四点，则称（分式中各项均为有向线段长度，例如）为，，，四点的交比，记为． （1）证明：； （2）若，，，为平面上过定点且互异的四条直线，，为不过点且互异的两条直线，与，，，的交点分别为，，，，与，，，的交点分别为，，，，证明：； （3）已知第（2）问的逆命题成立，证明：若与的对应边不平行，对应顶点的连线交于同一点，则与对应边的交点在一条直线上． 数学试题 第 1 页（共 4 页） 学科网（北京）股份有限公司 江苏省四校联合2024届新题型适应性考试 数学参考答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．D 2．A 3．C 4．B 5．B 6．C 7．A 8．D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0