特殊平行四边形的性质和判定综合应用训练 课件 2023-2024学年人教版数学八年级下册

特殊平行四边形的性质和判定综合应用训练 八年级数学(下)专项训练 特殊平行四边形的性质主要从边、角及对角线三个方面进行区分;而判定主要从在其他特殊四边形的基础上再附加什么条件的角度进行.应用特殊平行四边形的性质和判定解决的问题主要有折叠问题、操作型问题、探究型问题、阅读理解型问题等. 如图,正方形ABCD的边长为6.菱形EFGH的三个顶点E,G,H分别在正方形ABCD的边AB,CD,DA上,且AH=2,连接CF. (1)当DG=2时,求证:菱形EFGH为正方形; (2)设DG=x,试用含x的代数式表示 FCG的面积. 方法:特殊平行四边形的性质和判定的综合应用,就是从四边形边、角、对角线的特征进行判断和应用.本题中(1)由于四边形EFGH为菱形,只需再证有一个内角是直角即可;(2)解题的关键是作辅助线:过点F作FM⊥DC,交DC的延长线于点M,连接GE,构造全等三角形. (1)证明:∵四边形ABCD是正方形, ∴∠D=∠A=90 . ∵四边形EFGH是菱形,∴HG=EH. 又∵DG=AH=2,∴Rt DGH≌Rt AHE(HL). ∴∠DHG=∠AEH. ∵∠AEH+∠AHE=90 , ∴∠DHG+∠AHE=90 ,则∠GHE=90 . ∴菱形EFGH为正方形. (2)解:过点F作FM⊥DC,交DC的延长线于点M,连接GE,如图所示. ∵四边形ABCD是正方形,四边形EFGH是菱形, ∴CD∥AB,GF∥HE,HE=FG. ∴∠AEG=∠MGE,∠HEG=∠FGE. ∴∠AEH=∠FGM. 在 AHE和 MFG中, ∴ AHE≌ MFG(AAS). ∴MF=AH=2. ∵DG=x,DC=6,∴CG=6-x. ∴S FCG=CG MF=6-x. 训练1:利用矩形的性质巧求折叠中线段的和 1.如图,将矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠,使点B落到点B'的位置,AB'与CD交于点E. (1)试找出一个与 AED全等的 三角形,并加以证明; 【解】(1) CEB'与 AED全等.证明如下: ∵四边形ABCD是矩形,∴BC=DA,∠B=∠D. 由折叠的性质知BC=B'C,∠B=∠B', ∴B'C=DA,∠B'=∠D. 在 AED和 CEB'中, ∴ AED≌ CEB'(AAS). (2)若AB=8,DE=3,P为线段AC上的任意一点,PG⊥AB'于点G,PH⊥DC于点H,试求PG+PH的值. 【解】如图,延长HP交AB于点M,易知PM⊥AB.由折叠的性质可知∠1=∠2,又∵PG⊥AB',∴PM=PG.∵四边形ABCD为矩形,∴CD=AB=8,CD∥AB.∴∠2=∠3.∴∠1=∠3.∴AE=CE=8-3=5. 在Rt ADE中,DE=3,AE=5, ∴AD==4.易得PH+PM=AD, ∴PG+PH=PM+PH=AD=4. 训练2:特殊平行四边形中的操作型问题 2.四边形具有不稳定性,对于四条边长确定的四边形,当内角度数发生变化时,其形状也会随之改变.如图,改变正方形ABCD的内角,正方形ABCD变为菱形ABC'D'.若∠D'AB=30 ,则菱形ABC'D'的面积与正方形ABCD的面积之比是( B ) B A.1 B. C. D. 3.小中:如图①,有一张平行四边形纸片ABCD,你能帮我折出一个菱形吗? 小华:可以啊!把平行四边形纸片对折,使A,C两点重合,折痕分别交边AD,BC于E,F两点,连接AF,EC,如图②所示,则四边形 AFCE就是菱形了. 根据以上操作步骤,请判 断小华的方法对不对,并说明理由. 【解】小华的方法对,理由如下: 如图,连接AC交EF于O, 由折叠可知AE=EC,AF=CF,OA=OC. ∵四边形ABCD为平行四边形, ∴AE∥CF.∴∠AEO=∠CFO. ∴ AOE≌ COF(AAS).∴AE=CF. ∴AE=EC=CF=AF.∴四边形AECF是菱形. 4.综合与实践课上,老师带领同学们以“正方形和矩形的折叠”为主题开展数学活动. (1)操作判断 操作一:将正方形纸片ABCD依次沿对角线AC,BD对折,把纸片展平,折痕的交点为O; 操作二:在AB上取一点E,在BC上取一点F,将纸片沿EF折叠,使点B落在点O处,然后延长EO交DC于点G,连接FG. 如图①是经过以上两次操作后得到的图形, 则线段EF和FG的数量关系是 EF=FG . EF=FG (2)迁移思考 图②是把矩形纸片ABCD按照(1)中的操作一和操作二得到的图形.请判断AE,EF,FC三条线段之间有什么数量关系?并仅就图②证明你的判断. (2)【解】AE2+CF2=EF2. 证明:由操作一得点O是矩形对角线的交点, ∴OA=OC.由题意得AB∥CD,∠BCD=90 , ∴∠EAO=∠GCO,∠AEO=∠CGO. ∴ OAE≌ OCG (AAS)