特殊四边形的性质在折叠问题中的应用训练 课件 2023-2024学年人教版数学八年级下册

人教版八年级下 特殊四边形的性质在折叠问题的应用训练 八年级数学（下）专项训练 　　四边形的折叠问题是指将四边形按照某种方式折叠，然后在平面图形内按照要求完成相应的计算和证明.折叠的本质是图形的轴对称变换，折叠后的图形与原图形全等. ⁠ ⁠将平行四边形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，使点C与点A重合，点D落到点D'处，折痕为EF. (1)求证：△ABE≌△AD'F. (2)连接CF，判断四边形AECF是什么特殊四边形？并说明理由. ⁠ 方法：解图形的折叠问题，就是利用折叠前后两图形全等的性质并结合图形的性质为证明线段、角相等创造条件.本题中(1)由四边形ABCD是平行四边形，结合折叠前后的图形全等，容易得到∠B＝∠D'，AB＝AD'，∠3＝∠1，这样可证明△ABE≌△AD'F；(2)利用“四条边相等的四边形是菱形”解决问题. (1)证明：由折叠的性质，得∠D＝∠D'， CD＝AD'，∠D'AE＝∠DCE. ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠B＝∠D，AB＝CD，∠BCD＝∠BAD. ∴∠B＝∠D'，AB＝AD'，∠D'AE＝∠BAD， 即∠1＋∠2＝∠2＋∠3. ∴∠1＝∠3.∴△ABE≌△AD'F(ASA). (2)解：四边形AECF是菱形.理由如下： 由折叠的性质，得AE＝EC，∠4＝∠5，AF＝FC. ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC.∴∠6＝∠5＝∠4. ∴AF＝AE. ∴FC＝AF＝AE＝EC. ∴四边形AECF是菱形. 训练1：巧用平行四边形的性质解决折叠问题 1.[2023·大庆]如图，将平行四边形ABCD沿对角线BD折叠，使点A落在E处，若∠1＝56°，∠2＝42°，则∠A的度数为(　C　) A.108° B.109° C.110° D.111° C 【点拨】 　　∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD.∴∠ABD＝∠CDB. 由折叠的性质得∠EBD＝∠ABD. ∴∠ABD＝∠CDB＝∠EBD. ∵∠1＝∠CDB＋∠EBD＝56°， ∴∠EBD＝∠CDB＝∠ABD＝28°， ∴∠A＝180°－∠2－∠ABD＝180°－42°－28°＝110°. 故选C. 训练2：巧用菱形的性质解决折叠问题 2.如图，将菱形纸片ABCD折叠，使点A恰好落在菱形的对角线交点O处，折痕为EF.若菱形的边长为2，∠A＝120°，求EF的长. 【解】如图，连接BD，AC，则O为AC与BD的交点. ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，AC平分BD，AC平分∠BAD. ∵∠BAD＝120°，∴∠BAC＝60°. ∴∠ABO＝90°－60°＝30°. ∵AB＝2，∴AO＝AB＝×2＝1. 由勾股定理得BO＝＝. ∴OD＝BD＝. 易知EF⊥AC，EF平分AO. ∵AC⊥BD，∴EF∥BD. 易得EF为△ABD的中位线， ∴EF＝BD＝×(＋)＝. 训练3：巧用矩形的性质解决折叠问题 3.如图①，矩形OABC的边OA，OC在坐标轴上，点B的坐标为(10，8)，点P是射线BA上的一动点，把矩形OABC沿着CP折叠，点B落 在点D处. (1)当点C，D，A共线时，AD＝ 　2 ⁠； 2－10　 (2)如图②，当点P与点A重合时，CD与x轴交于点E，过点E作EF⊥AC，交BC于点F，请判断四边形CEAF的形状，并说明理由. 【解】(2)四边形CEAF是菱形. 理由如下：如图①，设AC与EF交于点G.由折叠得∠FCA＝∠ECA. ∵AC⊥EF，∴∠CGF＝∠CGE＝90°. 又∵CG＝CG，∴△CGE≌△CGF. ∴EG＝FG. ∵四边形OABC为矩形，∴CF∥AE， ∴∠CFG＝∠AEF. 又∵∠CGF＝∠AGE，EG＝FG，∴△CGF≌△AGE. ∴CF＝AE. ∴四边形CEAF是平行四边形. ∵AC⊥EF， ∴平行四边形CEAF是菱形. (3)若点D正好落在x轴上，请画出示意图并直接写出点P的坐标. 【解】(3)分两种情况： Ⅰ如图②，当点D在x轴正半轴上时，P(10，3). Ⅱ如图③，当点D在x轴负半轴上时，P(10，－12) . 综上所述，点P的坐标为(10，3)或(10，－12). 训练4：巧用正方形的性质解决折叠问题 4.如图，现有一张边长为2的正方形纸片ABCD，P为正方形的边AD上的一点(不与点A，D重合)，将正方形纸片ABCD折叠，使点B落在点P处，点C落在点G处，PG交DC于点H，折痕为EF，连接BP， BH. (1)求证：∠APB＝∠BPH. (1)【证明】∵四边形ABCD为正方形， ∴AB＝BC，∠ABC＝∠BAD＝∠BCD＝90°. 由折叠可得BE＝PE，∠EPG＝∠ABC＝90°. ∴∠EBP＝∠EPB. 又∵∠