浙江省绍兴市上虞区2023-2024学年高二上学期期末质量调测数学试题

2023 学年第一学期上虞区高二期末质量调测（数学） 一、单选题 1、直线 经过 两点，则 的倾斜角是（ ） 2、抛物线 的焦点坐标是（ ） 3、数列 满足 ，则 （ ） 4、已知 分别是空间四边形 的对角线 的中点，点 是线段 的中点， 为空间中任意 一点，则 （ ） 5、若方程 表示的曲线是圆，则实数 的取值范围是（ ） 6、在正方体 中，过 作一垂直于 的平面交平面 于直线 ，动点 在直 线 上，则直线 与 所成角余弦值的最大值为（ ） 7、已知等腰直角 斜边 ， 分别为 上的动点，将 沿 折起，使点 到 达点 的位置，且 .若点 均在球 的球面上，则球 表面积的最小 值为（ ） 8、设椭圆 的两个焦点是 ，过点 的直线与 交于点 ，若 ，且 ， 则椭圆 的离心率（ ） 二、多选题 9、对于两条不同直线 和两个不同平面 ，下列选项正确的是（ ） 10、已知圆 和圆 的交点为 ，则（ ） 11、教材章头语介绍：用一个不垂直于圆锥的轴的平面去截圆锥，其截口曲线是圆锥曲线（如图）.圆锥 轴截面的顶角为 ，一个不过圆锥顶点的平面与圆锥的轴的夹角为 .当 时，截口曲线为椭圆； 当 时，截口曲线为抛物线；当 时，截口曲线为双曲线.在长方体 中， ，点 在平面 内，下列说法正确的是（ ） 12、如图，直平面六面体 的所有棱长都为 ， ， 为 的中点，点 是 四边形 （包括边界）内，则下列结论正确的是（ ） 三、填空题 13、求经过点 ，并且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的标准方程是 . 14、设两个等差数列 和 的前 项和分别为 和 ，且 ，则 . 15、已知抛物线 和圆 ，若抛物线与圆在交点处的切线互相垂直，则实数 . 16、正三棱锥 ，点 为侧棱 的中点， 分别是线段 上的动点，则 的最小值为 . 四、解答题 17、已知等差数列 的前 项和为 ，等比数列 的前 项和为 ， . （Ⅰ）若 ，求 的通项公式；（Ⅱ）若 ，求 . 18、已知圆 过点 和点 ，圆心在直线 上. （Ⅰ）求圆 的方程，并写出圆心坐标和半径的值； （Ⅱ）若直线 经过点 ，且 被圆 截得的弦长为 ，求直线 的方程. 19、如图，在三棱柱 中， ， 在底面 的射影为 的中点， 为 的中点. （Ⅰ）求证： ； （Ⅱ）求直线 与平面 所成角的正弦值. 20、已知抛物线 的焦点为 ， 为 上一点且纵坐标为 ， 轴于点 ，且 . （Ⅰ）求 的值；（Ⅱ）已知点 是抛物线 上不同的两点，且满足 .证明： 直线 恒过定点 . 21、在四棱锥 中，底面 是边长为 的菱形， ，侧面 是边长为 的正三角 形，侧面 平面 . （Ⅰ）证明： ； （Ⅱ）若点 为棱 上的动点，求平面 与平面 夹角的正弦值的最小值. 22、已知椭圆 的离心率是 ，且椭圆 上的点到点 的距离的最大值 为 . （Ⅰ）求椭圆 的方程； （Ⅱ）在椭圆 上，是否存在点 ，使得直线 与圆 相交于不同的两点 ，且 的面积最大？若存在，请求出点 的坐标及对应的 的面积；若不存在，请说明理 由. 2023 学年第一学期上虞区高二期末质量调测（数学） 一、单选题 1、直线 经过 两点，则 的倾斜角是（ ） 【解答】 由题知： ，故 ，所以倾斜角 ；故选： . 2、抛物线 的焦点坐标是（ ） 【解答】 抛物线方程可转化为： ，故焦点在 轴正半轴，且 ，故焦点坐标为 ；故选： . 3、数列 满足 ，则 （ ） 【解答】 由题知： ；故选： . 4、已知 分别是空间四边形 的对角线 的中点，点 是线段 的中点， 为空间中任意 一点，则 （ ） 【解答】 由题知： ；故选： . -1- 5、若方程 表示的曲线是圆，则实数 的取值范围是（ ） 【解答】 要满足曲线是圆，则 ，解得： ；故选： . 6、在正方体 中，过 作一垂直于 的平面交平面 于直线 ，动点 在直 线 上，则直线 与 所成角余弦值的最大值为（ ） 【解答】 如图，易知 ， ， 故动点 在直线 上，设正方体棱长为 ，并如图建立空间直角坐标系， 则 ，设两直线所成角为 ， ，故 ， 即 ，令 ，则 ， 所以当 时，即 时， ；故选： . 7、已知等腰直角 斜边 ， 分别为 上的动点，将 沿 折起，使点 到 达点 的位置，且 .若点 均在球 的球面上，则球 表面积的最小 值为（ ） 【解答】 -2- 如图所示，为使得点 均在球 的球面上，即 四点共圆，故需满足 ，而由 可知： ，故如右图建立空间直角坐标系，并设 ，图 中点 为 的中点，且球心 与点 的连线与 平行，且 ，易知 ，故 由此知： ，故半径 ， 所以当 时， ，所以表面积的最小值为 ；故选： . 8、设椭圆 的两个焦点是 ，过点 的直线与 交于点 ，若 ，且 ， 则椭圆 的离心率（ ） 【解答】 如图所