福建省莆田五中、莆田八中、莆田十中、莆田侨中2023-2024学年高二上学期期末联考数学试卷

莆田五中、莆田八中、莆田十中、莆田侨中 2023—2024学年度高二第一学期期末联考 数学试题 （考试时间：120分钟 满分：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．直线的一个方向向量为（     ） A． B． C． D． 2．已知抛物线的准线过双曲线的一个焦点，则p=（     ） A．2 B．4 C．6 D．8 3．已知等差数列{an}前n项和为Sn，若S4＝6，S8＝18，则S12＝（     ） A．30 B．36 C．42 D．56 4．如图，空间四边形中，，点在上，且，点为中点，则（ ） A． B． C． D． 5．《算法统宗》是一部我国古代数学名著，由明代数学家程大位编著.《算法统宗》中记载了如下问题情境：“远望魏魏塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一”，意思为：“一座7层塔，共悬挂了381盛灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍”.在上述问题情境中，塔的正中间一层悬挂灯的数量为（     ） A．12 B．24 C．48 D．96 6．如图，四棱锥中，底面是矩形，，，，，是等腰三角形，点是棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 7．已知，，动点满足，则点的轨迹与圆相交的弦长等于（    ） A． B． C． D． 8．在“全面脱贫”行动中，贫困户小王2020年1月初向银行借了扶贫免息贷款10000元，用于自己开设的土特产品加工厂的原材料进货，因产品质优价廉，上市后供不应求，据测算每月获得的利润是该月月初投入资金的20%，每月月底需缴纳房租600元和水电费400元.余款作为资金全部用于再进货，如此继续.设第n月月底小王手中有现款为，则下列结论正确的是（    ）（参考数据：，） ① ② ③2020年小王的年利润约为40000元 ④两年后，小王手中现款约达41万 A．②③④ B．②④ C．①②④ D．②③ 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。 9．已知等差数列的前项和为，公差为d，且，则（    ） A． B． C． D．d>0 10．已知圆则下列说话正确的是（    ） A．圆与直线必有两个交点 B．圆上存在4个点到直线的距离都等于2 C．圆与圆恰有三条公切线，则 D．动点在圆上，则 11．如图, 棱长为2的正方体中, E、F分别为棱的中点, G为面对角线上一个动点, 则（    ） A．三棱锥的体积为定值 B．点E到直线的距离为 C．线段上存在点G, 使得 D．线段上不存在点G, 使平面平面 12．已知双曲线：的左右焦点分别为，，实轴长为8，离心率为，点，，是双曲线上的任意两点，过点分别作双曲线的两条渐近线的垂线，垂足分别为，两点.下列说法正确的是（    ） A．若点满足，则的周长为52 B．若点在双曲线的左支，则的最小值为13 C．存在点，使得 D．若直线的斜率为，线段的垂直平分线与轴交于点，则或 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．已知等比数列{an}满足a7＝16，a3a5＝4，则a3的值为 ． 14．若直线与直线平行，则 ． 15．已知数列{an}的前n项和为Sn，且2Sn＝an+n2，则S20＝ . 16．已知四棱锥平面，底面是矩形，，点分别在上，当空间四边形的周长最小时，则三棱锥外接球的体积为 . 四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17．（10分）已知公差不为零的等差数列满足，且，，成等比数列． （1）求数列的通项公式； （2）设为数列的前项和，求数列的前项和． 18．（12分）已知点、． (1)若点C是直线上的动点，且，求直线的方程； (2)若点A、B到直线的距离相等，求实数a的值． 19．（12分）如图，在四棱锥中，底面是菱形，，平面平面，，为的中点． (1)求证：平面； (2)求平面与平面的夹角的余弦值． 20．（12分）已知直线与圆相交于A，B两点 (1)若，求k (2)在x轴上是否存在点M，使得当k变化时，总有直线MA，MB的斜率之和为0，若存在，求出点M的坐标，若不存在，说明理由 21．（12分）已知数列为递增的等比数列，，记、分别为数列、的前项和，，. (1)求数列的通项公式； (2)证明：当时，. 22．（12分）已知为的两个顶点