不等式中恒（能）成立问题基础练-2024届高考数学一轮基础知识复习

不等式中恒（能）成立问题 一、单选题 1．设函数的导函数为，若对任意的，不等式恒成立，则实数a的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．已知使得不等式成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．已知函数，，若至少存在一个，使得成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．已知函数，若对于任意的时，恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．若关于的不等式在上有解，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．已知，，若对，，使得，则a的取值范围是（ ） A．[2，5] B． C． D． 7．已知函数对于任意时，不等式恒成立，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．已知函数，若在上恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9．若存在正实数，使得不等式成立（是自然对数的底数），则的最大值为（    ） A． B． C． D． 10．若存在，使得不等式成立，则实数的最大值为（    ） A．4 B． C． D． 二、多选题 11．若不等式恒成立，其中为自然对数的底数，则的值可能为（    ） A． B． C． D． 12．关于函数，下列说法正确的是（    ） A．在上单调递增 B．函数有且只有1个零点 C．存在正实数，使得恒成立 D．对任意两个正实数，且，若，则 13．下列命题正确的是（    ） A．， B．， C．， D．， 三、填空题 14．已知函数,,若对任意都存在使成立,则实数的取值范围是 . 15．已知函数，函数，若对任意的，存在，使得，则实数m的取值范围为 ． 16．若，不等式恒成立，则参数k的取值范围为 ． 17．函数（）的值域为 ． 18．若，则实数的最大值为 . 四、解答题 19．已知函数.（其中常数，是自然对数的底数.） （1）讨论函数的单调性； （2）证明：对任意的，当时，. 20．已知函数，，其中，为自然对数的底数.若不等式在区间上恒成立，求的取值范围. 21．已知函数．当时，证明：． 22．已知函数，，其中为常数.若，对于任意的，总存在，使得，求实数的取值范围. 参考答案： 1．C 函数，则， 不等式可化为， 设，则， 所以在上恒成立，故在上单调递减， 故，故， 2．A 由题意可得：使得不等式成立. 令则. 而，， 所以当时，，所以在单调递增，所以，所以， 所以在上单调递增，因为，所以， 故实数a的取值范围为. 3．B 由题意知至少存在一个，使得成立，即在上有解，满足即可， 设，，∵，∴， ∴在上恒为增函数，∴，∴， 4．A 的定义域为， 且， 所以为奇函数，且当时，单调递增，所以在上单调递增， ，即在恒成立， 所以，即有，所以， 设， ， 因为，所以，单调递增，， 所以，所以. 5．B 依题意： ，令， 则， 令， 则，易知单调递增， ，所以单调递增， 故，故， 则在上单调递增，故， 即实数的取值范围为， 6．A ， 所以在[1，2]递减，在（2，3]递增， , 可得的值域为， 对称轴为，在[1，3]递增，可得的值域为， 若对，，使得， 可得的值域为的值域的子集. 则，且，解得， 7．B 由题设，即， 令且，上述不等式等价于， 而，故在上递增，则有在上恒成立， 所以在上恒成立，记，令，则， 当时，，则单调递减，当时，，则单调递增， 所以在上递减，在上递增，则，故. 8．B 因为，则，其中， 令，解得，令，解得. 所以在上单调递减，在上单调递增， 因为，，所以，， 因为在上恒成立，所以，，解得. 9．C 设，则， 则在上单增， 则 设，则， 当时，，当时， 得在上单增，在上单减， 则当时取得最大值，故. 10．D ，不等式， 令，求导得， 当时，，当时，，因此函数在上单调递减，在上单调递增， ，， 即，依题意，， 所以实数的最大值为. 11．ABD 因为，所以，则． 令，则．当时，，单调递减；当时，，单调递增．故，即， 从而，当且仅当时，等号成立． 又，所以，则，所以． 令，则． 当时，，单调递减； 当时，，单调递增．故， 且当时，. 12．ABD A对，，则当时，，单调递增. B对，设， ，则在上单减， 又， 则在上有且只有一个零点. C错，，设， 则， 令，则 则当时，，单调递增； 当时，，单调递减. 则当，取得最大值， 则恒成立，则恒成立， 在上单减.当时，， 则无最小值，故不存在正实数恒成立. D对，设，由 得，即， 即 设，则 则在上单减，，故成立. 13．AB 对于A，令，则， 当时，，此时单调递增； 当时，，此时单调递减， 所以，即对，，故A正