江西省宜春市宜丰中学2023-2024学年高一上学期1月期末考试数学试题

江西省宜春市宜丰县宜丰中学2023-2024学年高一上学期期末数学试卷 1、 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．若经过两点的直线斜率为1，则实数（    ） A． B．3 C．2 D．1 2．与圆及圆都外切的圆的圆心在（    ） A．椭圆上 B．双曲线上的一支上 C．抛物线上 D．圆上 3．以椭圆的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 4．已知点，，点P为椭圆上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 5．已知为坐标原点，分别是椭圆的左顶点、上顶点和右焦点，点在椭圆上，且，若，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 6．已知双曲线的方程为，则下列说法正确的是（    ） A．焦点在轴上 B．渐近线方程为 C．虚轴长为4 D．离心率为 7．“”是“圆：与圆：存在公切线”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8．已知焦点在x轴上的椭圆的内接平行四边形的一组对边分别经过其两个焦点（如图），当这个平行四边形为矩形时，其面积最大，则椭圆离心率的取值范围是（    ） A． B． C. D． 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9．设向量，，则（    ） A． B． C． D．与的夹角为 10．已知双曲线的渐近线方程为，则下列结论正确的是（    ） A． B．的离心率为 C．曲线经过的一个顶点 D．与有相同的渐近线 11．已知圆C：，则下列命题是真命题的是（    ） A．若圆关于直线对称，则 B．存在直线与所有的圆都相切 C．当时，为圆上任意一点，则的最大值为 D．当时，直线为直线上的动点，过点作圆的切线， 切点为，，则最小值为4 12．已知椭圆E：的离心率为，左、右焦点分别为，，上顶点为P，若过且倾斜角为的直线l交椭圆E于A，B两点，的周长为8，则（    ） A．直线的斜率为 B．椭圆E的短轴长为4 C． D．四边形的面积为 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 把答案填在答题卡中的横线上. 13．直线被圆截得的弦长为 . 14．若为偶函数，则实数 . 15．在平面直角坐标系中，经过三点（0，0），（1，1），（2，0）的圆的方程为 ． 16．已知椭圆的短轴长为，上顶点为，左顶点为，左、右焦点分别是、，且的面积为，则椭圆的方程为 ；若点为椭圆上的任意一点， 则的取值范围是 . 四、解答题：本题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．(1)求直线：，：的交点坐标； (2)求点到直线：的距离. 18．（1）求与椭圆有相同的焦点，且经过点的椭圆标准方程； （2）求焦点在轴上，虚轴长为8，离心率为的双曲线标准方程； 19．设直线和直线的交点为. (1)若直线经过点，且与直线垂直，求直线的方程； (2)若直线与直线关于点对称，求直线的方程. 20．已知圆的圆心在直线上，且圆经过原点和点． (1)求圆的标准方程： (2)如果圆被斜率为1的直线截得的弦长为2，求直线的方程． 21．已知椭圆的焦距为2，离心率为． (1)求椭圆C的标准方程； (2)经过椭圆的左焦点作倾斜角为60°的直线，直线与椭圆交于M，N两点，点为椭圆的右焦点，求的面积． 22．已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，且，若C上的点M满足恒成立. (1)求C的方程； (2)若过点M的直线l与C的两条渐近线交于P，Q两点，且. （i）证明：l与C有且仅有一个交点； （ii）求的取值范围. 江西省宜春市宜丰县宜丰中学2023-2024学年高一上学期期末数学参考答案： 1．A 2．B 3．A 4．B 5．D 6．B 7．A 8．A【详解】椭圆C：的焦点在x轴上， 设所在直线方程为，其中为椭圆的半焦距.则由 得设，则， 所以，因为所在直线方程为， 所以直线与的距离为：， 设，则，则要使得最大值，则只需的值最大，即的值最小即可.根据条件当这个平行四边形为矩形时，其面积最大. 即当时有最大值，也即是时最小，由函数在上单调递减，在上单调递增.所以函数在上单调递减，在上单调递增. 因为函数在上，当时取得最小值，则.所以，即，所以，同时除以可得，解得, 9． CD 10．ACD 11．BCD 12．ACD【详解】对于选项A：设椭圆的半焦距为， 因为，