题型03 二次函数与几何综合题- 【一战成名新中考】2024辽宁中考数学·培优册

培优册·辽宁数学 重 难 解 答 题 题 型 三 　 二 次 函 数 与 几 何 综 合 题 题型三　二次函数与几何综合题 类型１　线段问题 １．如图，抛物线经过Ａ（－５，０），Ｂ（１，０），Ｃ（０， ５）三点． （１）求抛物线的解析式； （２）如图①，在抛物线的对称轴上有一点 Ｐ，连接 ＰＢ，ＰＣ，要使 ＰＢ＋ＰＣ的值最 小，求点Ｐ的坐标； （３）如图②，点 Ｍ是线段 ＡＣ上的点（不与 点Ａ、Ｃ重合），过 Ｍ作 ＭＮ∥ｙ轴交抛 物线于点Ｎ，求ＭＮ的最大值． 图① 　　 图② 第１题图 （２）由（１）知，抛物线的解析式为 ｙ＝－ｘ２－４ｘ ＋５， ∴抛物线的对称轴为直线ｘ＝－２， ∴点Ａ，Ｂ关于直线ｘ＝－２对称， ∴点 Ｐ为直线 ＡＣ与对称轴的交点时，ＰＢ＋ＰＣ 的值最小， 设直线ＡＣ的解析式为ｙ＝ｋｘ＋ｃ， ∴ －５ｋ＋ｃ＝０， ｃ＝５{ ， 解得 ｋ＝１，ｃ＝５{ ， ∴直线ＡＣ的解析式为ｙ＝ｘ＋５， 令ｘ＝－２，则ｙ＝３，∴当ＰＢ＋ＰＣ的值最小时，点 Ｐ的坐标为（－２，３）； （３）由（２）得直线ＡＣ的解析式为ｙ＝ｘ＋５， 设Ｍ（ｍ，ｍ＋５）， ∵ＭＮ∥ｙ轴，∴Ｎ（ｍ，－ｍ２－４ｍ＋５）， ∴ＭＮ＝－ｍ２－４ｍ＋５－ｍ－５＝－ｍ２－５ｍ＝ －（ｍ＋２．５）２＋６．２５（－５＜ｍ＜０）， ∴ＭＮ的最大值为６．２５． ２．（２０２３抚顺葫芦岛２６题１４分）抛物线 ｙ＝ ａｘ２＋８３ｘ＋ｃ与ｘ轴交于点Ａ和点Ｂ（３，０）， 与ｙ轴交于点Ｃ（０，４），点Ｐ为第一象限内 抛物线上的动点，过点 Ｐ作 ＰＥ⊥ｘ轴于点 Ｅ，交ＢＣ于点Ｆ． （１）求抛物线的解析式； （２）如图①，当△ＢＥＦ的周长是线段 ＰＦ长 度的２倍时，求点Ｐ的坐标； （３）如图②，当点 Ｐ运动到抛物线顶点时， 点Ｑ是ｙ轴上的动点，连接ＢＱ，过点Ｂ 作直线ｌ⊥ＢＱ，连接ＱＦ并延长交直线ｌ 于点Ｍ，当 ＢＱ＝ＢＭ时，请直接 獉獉 写出点 Ｑ的坐标． 图① 　　 图② 第２题图 解：（１）将点 Ｂ（３，０），点 Ｃ（０，４）代入 ｙ＝ａｘ２＋ ８ ３ｘ＋ｃ， 得 ９ａ＋８＋ｃ＝０， ｃ＝４{ ， 解得 ａ＝－４３， ｃ＝４{ ， ∴抛物线的解析式为ｙ＝－４３ｘ ２＋８３ｘ＋４； （２）Ｐ（３２，５）； （３）Ｑ（０，１３＋ 　 槡４６ ３ ）或（０， １ ３－ 　 槡４６ ３ ）                                                                    ． ２７ 培优册·辽宁数学 重 难 解 答 题 题 型 三 　 二 次 函 数 与 几 何 综 合 题 类型２　面积问题 ３．（２０２３大连二模节选）平面直角坐标系ｘＯｙ 中，抛物线Ｃ１：ｙ＝ｘ ２先向右平移 ７ ２个单位长 度，再向上平移 ７ ４个单位长度，得到新的抛物 线Ｃ２，其顶点为Ａ，Ｃ１，Ｃ２相交于点Ｂ，过点Ａ 作ＡＣ⊥ｘ轴于点Ｃ，连接ＢＣ交ＯＡ于点Ｄ． （１）求平移后的抛物线 Ｃ２的解析式及点 Ａ 的坐标； （２）求△ＯＢＤ面积与△ＯＣＤ面积的比值． 第３题图 　　 备用图 ４．在平面直角坐标系中，抛物线 ｙ＝－１２ｘ ２＋ ｂｘ＋ｃ经过点Ａ（－１２， ２７ ８）和点Ｂ（４，０），与 ｙ轴交于点Ｃ，点Ｐ为抛物线上一点． （１）求抛物线的解析式； （２）已知点Ｐ为第一象限内抛物线上的点， 过点Ｐ作 ＰＨ⊥ＡＢ，垂足为 Ｈ，作 ＰＥ⊥ ｘ轴，垂足为Ｅ，交 ＡＢ于点 Ｆ，设△ＰＨＦ 的面积为 Ｓ１，△ＢＥＦ的面积为 Ｓ２，当 Ｓ１ Ｓ２ ＝３６２５时，求点Ｐ的坐标． 解：（１）∵抛物线 ｙ＝－１２ｘ ２ ＋ｂｘ＋ｃ经过点 Ａ（－１２， ２７ ８）和点Ｂ（４，０）， ∴ －１２× １ ４－ １ ２ｂ＋ｃ＝ ２７ ８， －１２×１６＋４ｂ＋ｃ＝０ { ， 解得 ｂ＝１， ｃ＝４{ ， ∴抛物线的解析式为ｙ＝－１２ｘ ２＋ｘ＋４； （２）Ｐ（５２， ２７ ８）                                                                       ． ３７ 培优册·辽宁数学 重 难 解 答 题 题 型 三 　 二 次 函 数 与 几 何 综 合 题 类型３　特殊三角形的存在性问题 ５．抛物线ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ－６与ｘ轴交于Ａ（３，０）， Ｂ（８，０）两点，与ｙ轴交于点Ｃ，点Ｐ在抛物 线上，设点Ｐ的横坐标为ｍ． （１）求ａ，ｂ的值以及直线ＢＣ的