题型02 几何探究题- 【一战成名新中考】2024辽宁中考数学·培优册

培优册·辽宁数学 重 难 解 答 题 题 型 二 　 几 何 探 究 题 题型二　 櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 毴 毴毴 毴 几何探究题 典例精 讲 例１　（２０２２沈阳２４题１２分）【特例感知】 （１）如图①，△ＡＯＢ和△ＣＯＤ是等腰直角三角形，∠ＡＯＢ＝∠ＣＯＤ＝９０°，点 Ｃ在 ＯＡ上， 点Ｄ在ＢＯ的延长线上，连接ＡＤ，ＢＣ，线段ＡＤ与ＢＣ的数量关系是　ＡＤ＝ＢＣ　； 【类比迁移】 （２）如图②，将图①中的△ＣＯＤ绕着点 Ｏ顺时针旋转 α（０°＜α＜９０°），那么第（１）问的 结论是否仍然成立？如果成立，证明你的结论；如果不成立，说明理由； 【方法运用】 （３）如图③，若ＡＢ＝８，点Ｃ是线段ＡＢ外一动点，ＡＣ＝３槡３，连接ＢＣ． ①若将ＣＢ绕点Ｃ逆时针旋转９０°得到ＣＤ，连接ＡＤ，则ＡＤ的最大值是　８＋３槡６　； ②若以ＢＣ为斜边作Ｒｔ△ＢＣＤ（Ｂ，Ｃ，Ｄ三点按顺时针排列），∠ＣＤＢ＝９０°，连接ＡＤ， 当∠ＣＢＤ＝∠ＤＡＢ＝３０°时，直接 獉獉 写出ＡＤ的值． 图① 　　　 图② 　　　 图③ 例１题图 【思路分析】（１）证明△ＡＯＤ≌△ＢＯＣ（ＳＡＳ），即可得出结论； （２）利用旋转性质可证得∠ＢＯＣ＝∠ＡＯＤ，再证明△ＡＯＤ≌△ＢＯＣ（ＳＡＳ），即可得出结论； （３）①过点Ａ作ＡＴ⊥ＡＢ，使ＡＴ＝ＡＢ，连接 ＢＴ，ＤＴ，ＢＤ，先证得△ＡＢＣ∽△ＴＢＤ，得出 ＤＴ 的值，即点Ｄ的运动轨迹是以Ｔ为圆心，ＤＴ长为半径的圆，当Ｄ在ＡＴ的延长线上 时，ＡＤ的值最大； ②分情况讨论：在ＡＢ上方作∠ＡＢＴ＝３０°，过点Ａ作ＡＴ⊥ＢＴ于点Ｔ，连接ＤＴ，过点Ｔ 作ＴＨ⊥ＡＤ于点Ｈ，可证得△ＢＡＣ∽△ＢＴＤ，得出ＤＴ的值，再求出ＤＨ、ＡＨ，即可求 得ＡＤ；在ＡＢ上方作∠ＡＢＥ＝３０°，过点 Ａ作 ＡＥ⊥ＢＥ于点 Ｅ，连接 ＤＥ，可证得 △ＢＤＥ∽△ＢＣＡ，得出ＤＥ，再由勾股定理即可求得ＡＤ． 【自主作答】 解：（１）ＡＤ＝ＢＣ；（２）ＡＤ＝ＢＣ仍然成立． 证明：∵∠ＡＯＢ＝∠ＣＯＤ＝９０°，∴∠ＡＯＢ＋∠ＡＯＣ＝∠ＡＯＣ＋∠ＣＯＤ＝９０°＋α，即∠ＢＯＣ＝ ∠ＡＯＤ，在△ＡＯＤ和△ＢＯＣ中， ＯＡ＝ＯＢ， ∠ＡＯＤ＝∠ＢＯＣ ＯＤ＝ＯＣ { ， ，∴△ＡＯＤ≌△ＢＯＣ（ＳＡＳ），∴ＡＤ＝ＢＣ； （３）①８＋３槡６；②２槡３＋槡 ６５ ２ 或 槡１７ ２ ． ３６ 培优册·辽宁数学 重 难 解 答 题 题 型 二 　 几 何 探 究 题 针对训练 类型１　与图形折叠有关的问题 １．（２０２３沈阳２４题１２分）如图①，在ＡＢＣＤ纸片中，ＡＢ＝１０，ＡＤ＝６，∠ＤＡＢ＝６０°，点Ｅ为ＢＣ 边上的一点（点Ｅ不与点Ｃ重合），连接ＡＥ，将ＡＢＣＤ纸片沿ＡＥ所在直线折叠，点Ｃ，Ｄ的 对应点分别为Ｃ′，Ｄ′，射线Ｃ′Ｅ与射线ＡＤ交于点Ｆ． （１）求证：ＡＦ＝ＥＦ； （２）如图②，当ＥＦ⊥ＡＦ时，ＤＦ的长为　５ 　 槡３－６　； （３）如图③，当ＣＥ＝２时，过点Ｆ作ＦＭ⊥ＡＥ，垂足为点Ｍ，延长ＦＭ交Ｃ′Ｄ′于点Ｎ，连接ＡＮ， ＥＮ，求△ＡＮＥ的面积． 图① 　 图② 　　 图③ 第１题图 ４６ 培优册·辽宁数学 重 难 解 答 题 题 型 二 　 几 何 探 究 题 ２．多解法 獉獉獉 （优质原创）如图①，已知在Ｒｔ△ＡＢＣ纸片中，∠ＢＡＣ＝９０°，ＡＤ为斜边ＢＣ上的高． 实践操作 第一步：如图②，将图①中的三角形纸片沿 ＢＥ折叠，使点 Ａ与 ＢＣ边上的点 Ｆ重合，连 接ＥＦ； 第二步：如图②，标记ＢＥ与ＡＤ的交点为Ｇ，连接ＧＦ，然后将纸片展开． 猜想探究 （１）探究线段ＧＦ，ＢＥ，ＧＥ之间的数量关系； 拓广探索 （２）如图③，在矩形ＡＢＣＤ中，将△ＡＤＦ沿ＡＦ折叠，使点Ｄ落在ＢＣ边上的点Ｅ处，过点Ｅ作 ＥＧ∥ＣＤ交ＡＦ于点Ｇ，连接ＤＧ． ①则ＤＧ和ＡＥ的位置关系为　ＤＧ⊥ＡＥ　； ②若ＡＢ＝４，ＢＣ＝５，求ＧＦ的长． 第２题图 解：（１）由折叠可知，∠ＡＢＥ＝∠ＦＢＥ，点Ａ和点Ｆ关于ＢＥ对