专题06 与圆有关的证明与计算- 【一战成名新中考】2024辽宁中考数学·培优册

培优册·辽宁数学 常 考 命 题 点 专 题 六 　 与 圆 有 关 的 证 明 与 计 算 专题六　与圆有关的证明与计算 类型１　求线段长 １．（２０２３营口２３题１２分）如图，在△ＡＢＣ中， ＡＢ＝ＢＣ，以ＢＣ为直径作⊙Ｏ与ＡＣ交于点 Ｄ，过点Ｄ作ＤＥ⊥ＡＢ，交ＣＢ延长线于点Ｆ， 垂足为点Ｅ． （１）求证：ＤＦ为⊙Ｏ的切线； （２）若ＢＥ＝３，ｃｏｓＣ＝４５，求ＢＦ的长． 第１题图 （１）证明：如解图，连接ＢＤ，ＯＤ， ∵ＢＣ是⊙Ｏ的直径， ∴∠ＢＤＣ＝９０°，即ＢＤ⊥ＣＤ， ∵ＡＢ＝ＢＣ，∴ＡＤ＝ＣＤ， 又∵ＯＢ＝ＯＣ，∴ＯＤ是△ＡＢＣ的中位线， ∴ＯＤ∥ＡＢ，∵ＦＤ⊥ＡＢ，∴ＦＤ⊥ＯＤ， ∵ＯＤ是⊙Ｏ的半径，∴ＤＦ是⊙Ｏ的切线； （２）解：∵ｃｏｓＣ＝ＣＤＢＣ＝ ４ ５， ∴设ＣＤ＝４ｘ，则ＢＣ＝５ｘ， ∴ＢＤ＝ 　 ＢＣ２－ＣＤ槡 ２＝３ｘ， ∵ＡＢ＝ＢＣ，ＢＤ⊥ＡＣ， ∴∠ＤＢＥ＝∠ＣＢＤ， ∵∠ＢＥＤ＝∠ＢＤＣ＝９０°， ∴△ＢＥＤ∽△ＢＤＣ，∴ＢＥＢＤ＝ ＢＤ ＢＣ， 即 ３ ３ｘ＝ ３ｘ ５ｘ，解得ｘ＝ ５ ３， 经检验，ｘ＝５３是原方程的解， ∴ＢＣ＝５ｘ＝２５３， ∴ＯＤ＝１２ＢＣ＝ ２５ ６， ∵ＯＤ∥ＢＥ，∴△ＦＥＢ∽△ＦＤＯ， ２．（优质原创）如图，ＡＢ为⊙Ｏ的直径，Ｃ为 ⊙Ｏ上一点，Ｄ是 ) ＢＣ的中点，ＢＣ与 ＡＤ、ＯＤ 分别交于点Ｅ、Ｆ，Ｇ为ＡＢ延长线上一点，连 接ＧＤ，∠Ｇ＝∠ＡＢＣ． （１）判断 ＤＧ与⊙Ｏ的位置关系，并证明你 的结论； （２）若ＡＢ＝２ＢＧ，ＤＥ＝２，求ＣＤ的长． 第２题图 解：（１）ＤＧ与⊙Ｏ相切； 证明：∵点 Ｄ是 ) ＢＣ的中 点，ＯＤ是圆的半径， ∴ ＯＤ ⊥ ＢＣ，∵ ∠Ｇ ＝∠ＡＢＣ， ∴ＢＣ∥ＤＧ，∴ＤＧ⊥ＯＤ， ∵ＯＤ是⊙Ｏ的半径，∴ＤＧ与⊙Ｏ相切； （２）∵ＢＣ∥ＤＧ， ∴ＡＥＤＥ＝ ＡＢ ＢＧ， ∵ＡＢ＝２ＢＧ，ＤＥ＝２，∴ＡＥ２＝ ２ＢＧ ＢＧ＝２， ∴ＡＥ＝４，∴ＡＤ＝ＡＥ＋ＤＥ＝６， ∵ ) ＣＤ＝ ) ＢＤ， ∴∠ＣＡＤ＝∠ＤＣＢ， ∵∠ＣＤＥ＝∠ＡＤＣ， ∴△ＤＣＥ∽△ＤＡＣ， ∴ＤＣＤＡ＝ ＤＥ ＤＣ， ∴ＣＤ２＝ＤＥ·ＤＡ， ∴ＣＤ２＝２×６， ∴ＣＤ＝２槡３（负值已舍去）                                                                     ． ８４ 培优册·辽宁数学 常 考 命 题 点 专 题 六 　 与 圆 有 关 的 证 明 与 计 算 ３．多解法 獉獉獉 （２０２３锦州２２题８分）如图，ＡＥ为 ⊙Ｏ的直径，点Ｃ在⊙Ｏ上，ＡＢ与⊙Ｏ相切 于点 Ａ，与 ＯＣ延长线交于点 Ｂ，过点 Ｂ作 ＢＤ⊥ＯＢ，交ＡＣ的延长线于点Ｄ． （１）求证：ＡＢ＝ＢＤ； （２）点Ｆ为⊙Ｏ上一点，连接ＥＦ，ＢＦ，ＢＦ与 ＡＥ交于点 Ｇ．若∠Ｅ＝４５°，ＡＢ＝５， ｔａｎ∠ＡＢＧ＝３７，求⊙Ｏ的半径及 ＡＤ 的长． 第３题图 （１）证明：∵ＡＥ为⊙Ｏ 的直径，ＡＢ与⊙Ｏ相 切于点Ａ， ∴ＯＡ⊥ＡＢ， ∴ ∠ＯＡＢ ＝９０°，∴ ∠ＯＡＣ＋∠ＢＡＤ＝９０°． ∵ＢＤ⊥ＯＢ，∴∠ＯＢＤ＝９０°， ∴∠ＢＣＤ＋∠Ｄ＝９０°． ∵ＯＡ＝ＯＣ，∴∠ＯＡＣ＝∠ＯＣＡ． ∵∠ＢＣＤ＝∠ＯＣＡ，∴∠ＯＡＣ＝∠ＢＣＤ． ∴∠ＢＡＤ＝∠Ｄ． ∴ＡＢ＝ＢＤ． （２）解：如解图，连接 ＯＦ，过点 Ａ作 ＡＨ⊥ＯＢ于 点Ｈ， ∵ＡＨ⊥ＯＢ，∴∠ＡＨＢ＝９０°． ∴ＡＨ２＋ＢＨ２＝ＡＢ２． 设ＡＨ＝３ｘ，ＢＨ＝４ｘ， ∴（３ｘ）２＋（４ｘ）２＝５２，解得ｘ＝１． ∴ＡＨ＝３，ＢＨ＝４， ∵∠ＡＨＢ＝∠ＯＢＤ＝９０°，∠ＨＣＡ＝∠ＢＣＤ， ∴△ＨＣＡ∽△ＢＣＤ． ∴ＣＨＢＣ＝ ＡＨ ＢＤ＝ ＡＣ ＣＤ＝ ３ ５．∴ ＣＨ ４－ＣＨ＝ ３ ５． ∴ＣＨ＝３２．∴ＡＣ＝ ＡＨ ２＋ＣＨ槡 ２＝３槡５２． ∵ＡＣＣＤ＝ ３ ５，∴ＣＤ＝ ５槡５ ２． ∴ＡＤ＝ＡＣ＋ＣＤ＝４槡５． 类型２　求弧长 ４．（开放性问题）如图，已知在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ ４，以ＡＢ为直径作⊙Ｏ，交边 ＢＣ于中点 Ｄ． ＤＥ⊥ＡＣ于点Ｅ，连接ＡＤ． （１）求证：ＤＥ是⊙Ｏ的切线； （２）请给△ＡＢＣ添加一个条件，并求弧 ＢＤ 的长． 第４题图 　　 （１）证明：连接ＯＤ，如解图， ∵点Ｄ为ＢＣ的中点，Ｏ为ＡＢ的中点， ∴ＯＤ为△ＡＢＣ的中位线，∴ＯＤ∥ＡＣ， ∵ＤＥ⊥ＡＣ，∴ＤＥ⊥ＯＤ， ∵ＯＤ为⊙Ｏ的半径，∴ＤＥ是⊙Ｏ的切线； （２）解：添加条件为∠Ｂ＝３０°， ∵ＯＢ＝ＯＤ， ∴∠ＯＤＢ＝∠Ｂ＝３０°， ∴∠ＢＯＤ＝