专题05 二次函数与几何图形综合问题- 【一战成名新中考】2024辽宁中考数学·培优册

培优册·辽宁数学 常 考 命 题 点 专 题 五 　 二 次 函 数 与 几 何 图 形 综 合 问 题 专题五　二次函数与几何图形综合问题 类型１　 櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 毴 毴毴 毴 线段问题 原理：平面直角坐标系中的线段有如下三种位置关系： 若ＡＢ∥ｘ轴，则 ＡＢ＝｜ｘＢ－ｘＡ｜． 　　　　　 若ＡＢ∥ｙ轴，则 ＡＢ＝｜ｙＢ－ｙＡ｜． 　　　　　 若ＡＢ不平行ｘ轴、ｙ轴，则 ＡＢ＝ （ｘＢ－ｘＡ） ２＋（ｙＢ－ｙＡ）槡 ２． 基础练 例１题图 例１　已知二次函数ｙ＝－ｘ２＋２ｘ＋３的图象如图所示，与ｘ轴交于点Ａ，Ｂ （点Ａ在点Ｂ的左侧），与ｙ轴交于点Ｃ，顶点为Ｍ，对称轴与直线ＢＣ的 交点为Ｎ．动点Ｄ是线段ＯＢ上一点（不与点Ｂ重合），过点Ｄ作ＤＦ⊥ｘ 轴，交抛物线于点Ｆ，交ＢＣ于点Ｅ，设点Ｄ的横坐标为ｍ． １．求点坐标：Ａ ，Ｂ ，Ｃ ，Ｍ ； ２．求直线表达式：对称轴是直线　ｘ＝１　，直线ＢＣ的函数解析式是　ｙ＝ －ｘ＋３　，直线ＡＣ的函数解析式是　ｙ＝３ｘ＋３　，直线ＢＭ的函数解析 式是　ｙ＝－２ｘ＋６　； ３．求线段长：ＡＢ＝　４　；ＢＣ＝　３槡２　；ＣＭ＝　槡２　；ＢＭ＝　２槡５　；ＭＮ＝　２　； ４．用含ｍ的代数式表示：（１）点Ｄ的坐标为　（ｍ，０）　；点Ｅ的坐标为 ；点Ｆ的坐标 为 ；（２）ＤＥ＝　－ｍ＋３　；ＥＦ＝　－ｍ２＋３ｍ　；ＥＦ的最大值为 ． 提高练 例２　抛物线ｙ＝－ｘ２－３ｘ＋４与ｘ轴交于Ａ（－４，０），Ｂ（１，０）两点，与ｙ轴交于点Ｃ（０，４）． （１）如图①，抛物线的对称轴为 ｌ，若点 Ｍ为 ｌ上一点，当 ＢＭ＋ＣＭ最小时，点 Ｍ的坐标 为 ； 图① 　　　　 图② 例２题图 【点拨】点Ａ，Ｂ关于直线ｌ对称． （２）当△ＢＭＣ周长最小时，点Ｍ的坐标为 ； ８３ 培优册·辽宁数学 常 考 命 题 点 专 题 五 　 二 次 函 数 与 几 何 图 形 综 合 问 题 （３）如图②，点Ｐ为第二象限抛物线上一点，过点Ｐ作直线ＰＤ⊥ＯＡ于点Ｄ，交ＡＣ于点Ｑ． ①当ＰＱ＝３时，点Ｐ的坐标为 ； ②线段ＰＱ最大值为　４　，此时点Ｐ坐标为　（－２，６）　． 类型２　 櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 毴 毴毴 毴 面积问题 【必备能力】坐标系中求斜三角形（△ＡＢＰ）面积的方法 方法一：“宽高法”———斜三角形面积问题的一般方法 獉獉獉獉 重点：什么是宽？什么是高？（横平竖直；改斜归正） 如图①，过点Ｐ作ｙ轴平行线交ＡＢ于点Ｑ，ｘＢ－ｘＡ表示水平宽，ＰＱ表示高，则Ｓ△ＡＢＰ＝ １ ２（ｘＢ －ｘＡ）·ＰＱ 图① 　　 图② 　　 图③ 方法二：“补全分割法” 如图②，过点 Ａ，Ｂ分别作 ｙ轴，ｘ轴的平行线交于点 Ｃ，连接 ＰＣ，Ｓ△ＡＢＰ＝Ｓ△ＡＣＰ＋Ｓ△ＢＣＰ－ Ｓ△ＢＣＡ；如图③，过点Ａ，Ｐ，Ｂ补全矩形ＢＣＤＥ，Ｓ△ＡＢＰ＝Ｓ矩形ＢＣＤＥ－Ｓ△ＡＢＣ－Ｓ△ＡＤＰ－Ｓ△ＢＥＰ 例３多解法 獉獉獉 （２０２３锦州一模节选）如图，抛物线ｙ＝－ｘ２－２ｘ＋３与ｘ轴交于Ａ，Ｂ（－３，０）两点， 与ｙ轴交于点Ｃ（０，３）．在第二象限内的抛物线上确定一点Ｐ，使△ＰＢＣ的面积最大，求出点 Ｐ的坐标． 例３题图解：解法１：如解图，过点Ｐ作ＰＫ∥ｙ轴交ＢＣ于点Ｋ， 设直线ＢＣ的解析式为ｙ＝ｋｘ＋ｎ，将Ｂ（－３，０），Ｃ（０，３）代入， 得 －３ｋ＋ｎ＝０， ｎ＝３{ ， 解得 ｋ＝１，ｎ＝３{ ，∴直线ＢＣ的解析式为ｙ＝ｘ＋３， 设Ｐ（ｔ，－ｔ２－２ｔ＋３），则Ｋ（ｔ，ｔ＋３），∴ＰＫ＝－ｔ２－２ｔ＋３－（ｔ＋３）＝－ｔ２－３ｔ， ∴Ｓ△ＰＢＣ＝Ｓ△ＰＢＫ＋Ｓ△ＰＣＫ＝ １ ２ＰＫ·（ｔ＋３）＋ １ ２ＰＫ·（０－ｔ）＝ ３ ２ＰＫ＝ ３ ２（－ｔ ２－３ｔ）＝－３２ｔ ２－９２ｔ， ∵－３２＜０， ∴当ｔ＝－３２时，△ＰＢＣ的面积最大，此时点Ｐ的坐标为（－ ３ ２， １５ ４）  ． 解法２【点拨