专题04 反比例函数与几何图形综合问题- 【一战成名新中考】2024辽宁中考数学·培优册

培优册·辽宁数学 常 考 命 题 点 专 题 四 　 反 比 例 函 数 与 几 何 图 形 综 合 问 题 专题四　反比例函数与几何图形综合问题 １．（２０２３牡丹江）如图，正方形 ＡＢＣＤ的顶点 Ａ，Ｂ在ｙ轴上，反比例函数ｙ＝ｋｘ的图象经 过点Ｃ和ＡＤ的中点Ｅ，若ＡＢ＝２，则ｋ的值 是 （　Ｂ　） 　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．３ Ｂ．４ Ｃ．５ Ｄ．６ 第１题图 　　　　 第２题图 ２．（２０２３邵阳）如图，矩形 ＯＡＢＣ的顶点 Ｂ和 正方形ＡＤＥＦ的顶点Ｅ都在反比例函数ｙ＝ ｋ ｘ（ｋ≠０）的图象上，点 Ｂ的坐标为（２，４）， 则点Ｅ的坐标为 （　Ｄ　） Ａ．（４，４） Ｂ．（２，２） Ｃ．（２，４） Ｄ．（４，２） ３．（２０２３沈阳模拟改编）如图，在平面直角坐 标系中，反比例函数 ｙ＝ｋｘ（ｋ＞０，ｘ＞０）的 图象与菱形 ＯＡＢＣ的边 ＯＣ交于点 Ｍ，且 ＯＭ＝２ＭＣ，ＯＡ＝６，∠ＣＯＡ＝６０°，则 ｋ的值 为 （　Ｄ　） Ａ．２槡１３ Ｂ．３ 　 槡３ Ｃ．３槡１３ Ｄ．４ 　 槡３ 第３题图 　　 第４题图 ４．（优质原创）如图，过ｙ轴上任意一点Ｐ（０， ｍ）作ｘ轴的平行线，分别与反比例函数ｙ＝ －２ｘ（ｘ＜０）和 ｙ＝ ６ ｘ（ｘ＞０）的图象交于 Ａ 点和 Ｂ点，若 Ｃ为 ｘ轴上任意一点，连接 ＡＣ，ＢＣ． （１）若ｍ＝２，则ＡＢ＝　４　； （２）△ＡＢＣ的面积为　４　． ５．（优质原创）如图，在平面直角坐标系中，反 比例函数ｙ＝ｋｘ（ｘ＞０）的图象恰好经过矩 形ＯＡＢＣ的两邻边 ＡＢ，ＢＣ的中点 Ｄ，Ｅ，直 线ＤＥ分别交ｘ，ｙ轴于点Ｍ，Ｎ，已知点Ｂ的 坐标为（ａ，２）． （１）点Ｄ的坐标为 ，点Ｅ的坐标为 　（ａ，１）　，ｋ的值为　ａ　；（用含ａ的 式子表示） （２）若△ＭＯＮ的面积为９，求直线ＭＮ和反 比例函数ｙ＝ｋｘ（ｘ＞０）的表达式． 第５题图 解：（１）（ａ２，２），（ａ，１），ａ； （２）设直线ＤＥ的表达式为 ｙ＝ ｍｘ＋ｎ，将点Ｄ，Ｅ的坐标代入， 得 ２＝１２ｍａ＋ｎ， １＝ｍａ＋ｎ{ ， 解得 ｍ＝－２ａ， ｎ＝３{ ， ∴ｙ＝－２ａｘ＋３，∴Ｍ（ ３ａ ２，０），Ｎ（０，３）， ∴Ｓ△ＭＯＮ＝ １ ２× ３ａ ２×３＝９，∴ａ＝４． ∴ｍ＝－１２，ｋ＝４， ∴直线ＭＮ的表达式为 ｙ＝－１２ｘ＋３，反比例函 数的表达式为ｙ＝４ｘ（ｘ＞０）                                                                      ． ５３ 培优册·辽宁数学 常 考 命 题 点 专 题 四 　 反 比 例 函 数 与 几 何 图 形 综 合 问 题 ６．（２０２３营口２０题１０分）如图，点 Ａ在反比 例函数ｙ＝ｋｘ（ｘ＞０）的图象上，ＡＢ⊥ｙ轴于 点Ｂ，ｔａｎ∠ＡＯＢ＝１２，ＡＢ＝２． （１）求反比例函数的解析式； （２）点 Ｃ在这个反比例函数图象上，连接 ＡＣ并延长交ｘ轴于点 Ｄ，且∠ＡＤＯ＝ ４５°，求点Ｃ的坐标． 第６题图 解：（１）∵ＡＢ⊥ｙ轴于点Ｂ， ∴∠ＯＢＡ＝９０°， ∴在 Ｒｔ△ＯＢＡ中，ＡＢ＝２，ｔａｎ ∠ＡＯＢ＝ＡＢＯＢ＝ １ ２， ∴ＯＢ＝４，∴Ａ（２，４）， ∵点Ａ在反比例函数ｙ＝ｋｘ（ｘ＞０）的图象上， ∴ｋ＝４×２＝８， ∴反比例函数的解析式为ｙ＝８ｘ； （２）如解图，过 Ａ作 ＡＦ⊥ｘ轴于 Ｆ，∴∠ＡＦＤ ＝９０°， ∵∠ＡＤＯ＝４５°， ∴∠ＦＡＤ＝９０°－∠ＡＤＯ＝４５°， ∴ＡＦ＝ＤＦ＝ＯＢ＝４， ∵ＯＦ＝ＡＢ＝２，∴ＯＤ＝６，∴Ｄ（６，０）， 设直线ＡＣ的解析式为ｙ＝ａｘ＋ｂ， ∵点Ａ（２，４），Ｄ（６，０）在直线ＡＣ上， ∴ ２ａ＋ｂ＝４， ６ａ＋ｂ＝０{ ，解得 ａ＝－１，ｂ＝６{ ， ∴直线ＡＣ的解析式为ｙ＝－ｘ＋６①， 由（１）知，反比例函数的解析式为ｙ＝８ｘ②， 联立①②解得 ｘ＝２， ｙ{ ＝４或 ｘ＝４，ｙ＝２{ ， ∴Ｃ（４，２）． ７．（优质原创）如图，在平面直角坐标系 ｘＯｙ 中，一次函数ｙ＝ｋｘ＋ｂ（ｋ＞０）的图象与双 曲线ｙ＝ｍｘ在第一、第三象限分别交于 Ａ，Ｂ 两点，与ｙ轴交于点Ｃ． （１）若点 Ａ，Ｂ的坐标分别为（１，６），（－２， ａ），求双曲线的解析式和ｋ，ｂ的值； （２）如图，过点 Ａ，Ｂ分别作 ｘ轴，ｙ轴的垂 线，交于点 Ｄ，过点 Ｏ作 ＯＥ⊥ＡＢ，垂足 为Ｅ，求证：ＯＥ·ＡＢ＝ＢＤ·ＣＯ； （３）若点Ａ，Ｂ的横坐标分别为ｃ，ｃ－ｎ，其中 ｃ≠０，点 Ｃ的纵坐标为２ｎ，问△ＡＯＢ的 面积是否为定值？若是，请直接写出； 若不是，请用含ｃ