模型10 几何图形最值模型&模型11“12345”模型- 【一战成名新中考】2024辽宁中考数学·培优册

培优册·辽宁数学 模 型 方 法 篇 模 型 十 　 几 何 图 形 最 值 模 型 模型十　几何图形最值模型 类型１　将军饮马模型 已知直线ｌ，Ａ，Ｂ是直线ｌ外两点，点Ｐ是直线ｌ上一动点，确定点Ｐ的位置，使得ＰＡ＋ＰＢ的值 最小． 模型 图示 作法 原理 点 Ａ，Ｂ在 直线ｌ异侧 连接ＡＢ交直线 ｌ于点 Ｐ，点 Ｐ即 为所求作的点 点 Ａ，Ｂ在 直线ｌ同侧 作点Ａ关于直线ｌ的对称点Ａ′，连 接Ａ′Ｂ交直线ｌ于点Ｐ，点Ｐ即为 所求作的点 櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 毴 毴毴 毴 两点之间线段最短 例１题图 典例精 讲 例１　（２０２３沈阳于洪区期末）如图，在正方形ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝５，点Ｅ在边 ＣＤ上，且ＣＥ＝２，在边ＢＣ上取两点Ｍ，Ｎ（点Ｍ在点Ｎ左侧），且始终保持 ＭＮ＝１，线段ＭＮ在边ＢＣ上平移，则ＡＭ＋ＥＮ的最小值为　槡６５　． 【点拨】作Ａ点关于ＢＣ的对称点Ｇ，连接ＭＧ，过点Ｇ作ＧＨ∥ＭＮ，过点Ｎ 作ＮＨ∥ＭＧ，当 Ｅ、Ｎ、Ｈ三点共线时，ＡＭ＋ＮＥ有最小值，过点 Ｈ作 ＨＫ⊥ ＣＤ交ＤＣ的延长线于点Ｋ，求出ＥＨ即为所求． 　　　　　　　　　　　　　　　　针对训练 １．（２０２３大连期中）如图，正方形 ＡＢＣＤ的边 长为８，Ｍ在 ＣＤ上，且 ＤＭ＝２，Ｎ是 ＡＣ上 的一个动点，则ＤＮ＋ＭＮ的最小值为 （　Ｃ　） 第１题图 Ａ．６ Ｂ．８ Ｃ．１０ Ｄ．８　槡２ ２．（２０２３沈阳和平区期末）如图，在△ＡＢＣ中， ＡＤ是△ＡＢＣ的角平分线，点 Ｅ、Ｆ分别是 ＡＤ、ＡＢ上的动点，若∠ＢＡＣ＝５０°，当 ＢＥ＋ ＥＦ的值最小时，∠ＡＥＢ的度数为 （　Ｂ　） 第２题图 Ａ．１０５° Ｂ．１１５° Ｃ．１２０° Ｄ．１３０                         ° １２ 培优册·辽宁数学 模 型 方 法 篇 模 型 十 　 几 何 图 形 最 值 模 型 类型２　造桥选址模型 问题描述 图示 作法 原理 已知直线 ｍ∥ｎ，在 直线 ｍ，ｎ上分别求 点Ｍ、Ｎ，使 ＭＮ⊥直 线ｍ，且ＡＭ＋ＭＮ＋ ＢＮ的值最小 将点 Ａ向下平移 ＭＮ的长度单位 得点 Ａ′，连接 Ａ′Ｂ交直线 ｎ于点 Ｎ，过点Ｎ作ＭＮ⊥直线ｍ于点Ｍ， 连接ＡＭ，点Ｍ，Ｎ即为所求 两点之间线段 最短 在直线 ｌ上求两点 Ｐ，Ｐ′（点 Ｐ在点 Ｐ′ 左侧），并使 ＡＰ＋ ＰＰ′＋Ｐ′Ｂ的值最小 将点 Ａ向右平移 ＰＰ′的长度单位 得点Ａ′，作点Ｂ关于直线ｌ的对称 点Ｂ′，连接 Ａ′Ｂ′，Ａ′Ｂ′与直线 ｌ的 交点即为点 Ｐ′，将点 Ｐ′向左平移 ＰＰ′的长度单位即为点Ｐ 两点之间线段 櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 毴 毴毴 毴 最短 例２题图 典例精 讲 例２　已知Ａ地和Ｂ地在一条河的两岸（河岸平行），现要在河上建一座 垂直于河岸的桥ＭＮ，请在图中找到合适的建桥位置，使从Ａ地到Ｂ地的 路径ＡＭ＋ＭＮ＋ＮＢ最短（体现作图原理）． 【点拨】利用两点之间线段最短进行求解，要使ＡＭ＋ＭＮ＋ＮＢ最短，即为 求解ＡＭ＋ＮＢ的最小值． ①将点Ａ沿着垂直于河岸ｂ的方向平移到点Ａ′，使得ＡＡ′＝ＭＮ， ②连接ＢＡ′，交河岸ｂ于点Ｎ， ③过点Ｎ作ＭＮ⊥ｂ，交河岸ａ于点Ｍ，连接ＡＭ，可以发现此时ＡＭ∥Ａ′Ｎ，即ＡＭ∥ＢＮ． 【自主作图】 针对训练 ３．（优质原创）如图，在正方形 ＡＢＣＤ中，点 Ｍ，Ｎ在 ＢＤ上，连接 ＡＭ，ＡＮ，若 ＡＢ＝２， ＭＮ＝１，则△ＡＭＮ周长的最小值为　４　． ４．多解法 獉獉獉 （２０２２自贡）如图，矩形ＡＢＣＤ中，ＡＢ ＝４，ＢＣ＝２，Ｇ是 ＡＤ的中点，线段 ＥＦ在边 ＡＢ上左右滑动，若ＥＦ＝１，则ＧＥ＋ＣＦ的最 小值为 　３槡２　． 第３题图 　　 第４题图            ２２ 培优册·辽宁数学 模 型 方 法 篇 模 型 十 　 几 何 图 形 最 值 模 型 类型３　胡不归模型 问题描述 已知点Ｐ是线段ＢＣ上一动点，点Ａ是直线ＢＣ外一定点，连接ＰＡ，求ＰＡ＋ｋ· ＰＢ的最小值（０＜ｋ＜１） 图示 作法