模型09 折叠模型- 【一战成名新中考】2024辽宁中考数学·培优册

培优册·辽宁数学 模 型 方 法 篇 模 型 九 　 折 叠 模 型 模型九　折叠模型 类型１　　 櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 毴 毴毴 毴 矩形中的折叠 例１题图 典例精 讲 例１　（２０２３盘锦１８题３分）如图，四边形ＡＢＣＤ是矩形，ＡＢ＝　槡６， ＢＣ＝６，点Ｅ为边ＢＣ的中点，点Ｆ为边ＡＤ上一点，将四边形ＡＢＥＦ 沿ＥＦ折叠，点Ａ的对应点为点Ａ′，点Ｂ的对应点为点Ｂ′，过点Ｂ′ 作Ｂ′Ｈ⊥ＢＣ于点Ｈ，若Ｂ′Ｈ＝２ 　 槡２，则ＦＤ的长是 　３＋ 　 槡３　． 【点拨】设Ｂ′Ｅ交ＡＤ于点 Ｇ，根据折叠性质可知 ＢＥ＝Ｂ′Ｅ，∠ＢＥＦ ＝∠Ｂ′ＥＦ，根据平行线的性质可得∠ＧＦＥ＝∠ＢＥＦ，∴∠ＧＦＥ＝∠Ｂ′ＥＦ，∴ＦＧ＝ＥＧ，利用勾 股定理求出ＥＨ的值；过点Ｅ作 ＥＭ⊥ＡＤ于点 Ｍ，易证△ＥＭＧ∽△Ｂ′ＨＥ，利用相似三角形 的性质及线段和差关系可求出ＡＦ的值，代入ＦＤ＝ＡＤ－ＡＦ进行计算即可得到答案． 模型总结 情况 结论 点Ｂ′在矩形对角线上（折痕ＣＰ） （大连２０２２．１６；葫芦岛２０１８．１７） ①ＢＰ＝　Ｂ′Ｐ　，ＢＣ＝　Ｂ′Ｃ　＝ＡＤ； ②∠Ｂ＝∠ＰＢ′Ｃ，∠ＢＰＣ＝∠Ｂ′ＰＣ，∠ＢＣＰ＝∠Ｂ′ＣＰ； ③△ＢＰＣ　≌　△Ｂ′ＰＣ； ④△ＡＢ′Ｐ∽△ＡＢＣ 点Ｂ′在矩形边上（折痕ＣＰ） （鞍山２０２３．１３；营口２０２２．１０； 盘锦２０２０．１６） ①ＢＰ＝　Ｂ′Ｐ　，ＢＣ＝　Ｂ′Ｃ　＝ＡＤ； ②∠Ｂ＝∠ＰＢ′Ｃ，∠ＢＰＣ＝∠Ｂ′ＰＣ，∠ＢＣＰ＝∠Ｂ′ＣＰ； ③△ＢＰＣ≌△Ｂ′ＰＣ； ④△ＡＢ′Ｐ∽△ＤＣＢ′； ⑤直角三角形（常用勾股定理）：Ｒｔ△ＤＢ′Ｃ，Ｒｔ△ＡＢ′Ｐ 点Ｂ′在矩形外部（折痕ＣＡ） （沈阳２０２３．２４；盘锦２０２３．１８； 本溪铁岭辽阳２０２３．１７； 阜新２０２１．１５；丹东２０２１．６； 本溪辽阳葫芦岛２０２１．１８） ①ＡＢ＝　ＡＢ′　，ＢＣ＝　Ｂ′Ｃ　＝ＡＤ； ②∠Ｂ＝∠Ｂ′，∠ＢＡＣ＝∠Ｂ′ＡＣ，∠ＢＣＡ＝∠Ｂ′ＣＡ； ③△ＢＡＣ≌△Ｂ′ＡＣ，△ＣＤＦ≌△ＡＢ′Ｆ； ④直角三角形（常用勾股定理）：Ｒｔ△ＡＢ′Ｆ，Ｒｔ△ＣＤＦ ８１ 培优册·辽宁数学 模 型 方 法 篇 模 型 九 　 折 叠 模 型 点Ｂ与点Ｄ重合（折痕ＥＦ） （抚顺铁岭２０２１．１６） ①四边形ＢＦＤＥ是　菱形　； ②Ａ′，Ｆ，Ｂ三点共线； ③点Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ａ′在同一个圆上； ④直角三角形（常用勾股定理）：Ｒｔ△Ａ′ＤＦ，Ｒｔ△ＤＥＣ 两次折叠（折痕ＡＧ，ＧＥ） ①Ａ，Ｆ，Ｅ三点共线； ②ＢＧ＝ＦＧ＝ＣＧ，即点Ｇ为　ＢＣ　的中点； ③△ＡＢＧ∽△ＧＣＥ； ④∠ＡＧＥ＝　９０　°，ＡＧ２＋ＧＥ２＝ＡＥ２， Ｓ△ＡＧＥ＝ ＝ １ ２ＡＥ·　ＦＧ　； ⑤ＧＦ⊥ＡＥ，△ＡＦＧ∽△ＧＦＥ∽△ＡＧＥ 类型２　三角形中的折叠（大连２０２３．２５（１ 櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 毴 毴毴 毴 ）） 例２题图 典例精 讲 例２　小华用一张直角三角形纸片玩折纸游戏，如图①， 在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠ＡＣＢ＝９０°，∠Ｂ＝３０°，ＡＣ＝１．第一步， 在ＡＢ边上找一点Ｄ，将纸片沿ＣＤ折叠，点Ａ落在点Ａ′ 处，如图②；第二步，将△Ａ′ＤＣ继续沿 ＣＡ′折叠，点 Ｄ落 在点Ｄ′处，如图③，当点Ｄ′恰好落在原直角三角形纸片 的边上时，线段Ａ′Ｄ′的长为 ． 【点拨】此题注意要进行分类讨论．①点Ｄ′恰好落在直角三角形纸片的ＡＢ边上时，由题意可得 △ＡＤＣ≌△Ａ′ＤＣ≌△Ａ′Ｄ′Ｃ，设Ａ′Ｃ交ＡＢ于点Ｅ，利用Ｓ△ＡＢＣ＝ １ ２ＡＣ·ＢＣ＝ １ ２ＡＢ·ＣＥ可求出ＣＥ， 解直角三角形Ａ′Ｄ′Ｅ即可求出线段Ａ′Ｄ′；②点Ｄ′恰好落在直角三角形纸片的ＢＣ边上时，同理由 题意可得△ＡＤＣ≌△Ａ′ＤＣ≌△Ａ′Ｄ′Ｃ，再利用３０°角所对的直角边等于斜边的一半可得出结果． 模型总结 在△ＡＢＣ中，∠Ｂ＝３０°，∠ＡＣＢ＝９０°，Ｄ是ＡＢ上一点 一次折叠：将△ＡＣＤ沿ＣＤ折叠后，点Ａ的对应 点Ａ１落在△ＡＢＣ的边上，需分情况讨论 两次折叠：将△ＡＣＤ沿ＣＤ折叠，点Ａ的对应点