模型07 利用等面积法解题模型&模型08与圆有关的模型- 【一战成名新中考】2024辽宁中考数学·培优册

培优册·辽宁数学 模 型 方 法 篇 模 型 七 　 利 用 等 面 积 法 解 题 模 型 模型七　利用等面积法解题模型 解题 方法 　　（ＡＢ＝ＡＣ） 结论：ＣＤ＝ＭＰ＋ＰＮ → 证法１：等面积法．连接 ＡＰ，通 过 １ ２ＡＢ·ＣＤ＝ １ ２ＡＢ·ＰＭ＋ １ ２ＡＣ·ＰＮ得证 　　 证法２：角平分线转化法． 作 ＣＱ∥ＡＢ交 ＭＰ的延 长线于点 Ｑ，通过 ＭＰ＋ ＰＮ＝ＭＰ＋ＰＱ＝ＣＤ得证 常见 图形 等边三角形 ＯＭ＋ＯＮ＝槡３２ＡＢ 　　 矩形 ＰＭ＋ＰＮ＝ＡＱ 　　 菱形 ＰＭ＋ＰＮ＝ＡＱ 　　 正方形 ＰＥ＋ＰＦ＝ＯＡ 思考：若点Ｏ是等边三角形ＡＢＣ的内部任意一点，则有什么样的结论？ 　　　　　　　　　　　　　　　　１．多解法 獉獉獉 如图，在正方形ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝１，Ｐ 是线段ＡＤ上的动点，ＰＥ⊥ＡＣ于点Ｅ，ＰＦ⊥ ＢＤ于点Ｆ，则ＰＥ＋ＰＦ的值为 （　Ｄ　） Ａ．槡２ Ｂ．４ Ｃ．２ Ｄ．槡 ２ ２ 第１题图 　　 第２题图 ２．（２０２３内江）出入相补原理是我国古代数学 的重要成就之一，最早是由三国时期数学 家刘徽创建．“将一个几何图形，任意切成 多块小图形，几何图形的总面积保持不变， 等于所分割成的小图形的面积之和”是该 原理的重要内容之一．如图，在矩形 ＡＢＣＤ 中，ＡＢ＝５，ＡＤ＝１２，对角线 ＡＣ与 ＢＤ交于 点Ｏ，点 Ｅ为 ＢＣ边上的一个动点，ＥＦ⊥ ＡＣ，ＥＧ⊥ＢＤ，垂足分别为点 Ｆ，Ｇ，则 ＥＦ＋ ＥＧ＝ ． ３．如图，在菱形 ＡＢＣＤ中，ＢＤ＝１２ｃｍ，ＡＣ＝ １６ｃｍ，直线ＥＦ⊥ＡＢ分别交两对边于点Ｅ， Ｆ，则ＥＦ的长为 ｃｍ． 第３题图 　　 第４题图 ４．多解法 獉獉獉 （２０２３福建）如图，⊙Ｏ的半径为１， 运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积近 似估计⊙Ｏ的面积，可得 π的估计值为 ３槡３ ２，若用圆内接正十二边形作近似估计， 可得π的估计值为　３　                                  ． ３１ 培优册·辽宁数学 模 型 方 法 篇 模 型 八 　 与 圆 有 关 的 模 型 模型八　与圆有关的模型 类型１　点圆、线圆最值模型 模型 点圆最值 在平面内一定点Ａ和⊙Ｏ上一动点 Ｂ的连线上，当连线过圆心 Ｏ时，线段 ＡＢ有最大 值和最小值，设ＯＡ＝ｄ，⊙Ｏ的半径为ｒ 图形 圆内一定点到圆上动点最值 圆外一定点到圆上动点最值 分析 ＡＢ最小值为 ＡＢ１＝ ｒ－ｄ ＡＢ最大值为 ＡＢ２＝ ｒ＋ｄ ＡＢ最小值为 ＡＢ１＝ ｄ－ｒ ＡＢ最大值为ＡＢ２＝ｄ＋ｒ 模型 线圆最值 在平面内一定直线ｍ和⊙Ｏ上一动点Ｐ，当直线与圆的位置不同时，点Ｐ到直线的距 离有最大值和最小值，设ＯＡ＝ｄ，⊙Ｏ的半径为ｒ 图形 直线与圆相交 直线与圆相离 分析 点Ｐ１到直线ｍ有最獉 小值 獉獉 ０ 点 Ｐ２到直线 ｍ有 最大值 獉獉獉 Ｐ２Ａ＝ｒ＋ｄ 点Ｐ１到直线ｍ有最獉 小值 獉獉 Ｐ１Ａ＝ｄ－ｒ 点Ｐ２到直线ｍ有最大值獉獉獉 Ｐ２Ａ＝ｒ＋ｄ 类型２　定点定长模型 模型 定点定长模型 图形 原图 解图 分析 定圆心 三条等长线段的公共点Ａ 找半径 ＡＢ（或ＡＣ） 结论 已知平面内一定点Ａ和一动点Ｐ，若ＡＰ长度固定，且ＡＢ＝ＡＣ＝ＡＰ，则动点Ｐ 的轨迹是以点Ａ为圆心，ＡＰ长为半径的圆 ４１ 培优册·辽宁数学 模 型 方 法 篇 模 型 八 　 与 圆 有 关 的 模 型 类型３　定角定弦模型 模型 定角定弦模型 图形 原图 解图 分析 定圆心 △ＡＢＰ任意两边垂直平分线的交点 找半径 交点到点Ａ或点Ｂ的距离 结论 在⊙Ｏ中，ＡＢ的长度为定值（即定弦），Ｐ为动点，且∠Ｐ为定值，由同弧或等 弧所对的圆周角相等可知，弦ＡＢ在同弧或等弧上所对的圆周角相等 类型４　定角定高模型 模型 定角定高模型 图形 原图 解图 分析 定圆心 △ＡＢＣ三边垂直平分线的交点 找半径 交点到点Ｂ的距离 结论 已知△ＡＢＣ中，∠ＡＢＣ的值为定值（即定角），ＢＤ为边ＡＣ上的高，则点Ｂ可 看作在圆上运动，当Ｂ、Ｏ、Ｈ三点共线时，ＡＣ存在最小值 类型５　 四点共圆模型 模型 四点共圆模型 图形 原图 解图 原图 解图 分析 定圆心 四边形ＡＢＣＤ任意两边垂直平分线的 交点 △ＡＢＣ或△ＡＢＰ任意两边垂直平分线 的交点 找半径 交点到点Ｂ或点Ｄ的距离 交点到点Ａ或点Ｂ或点Ｃ的距离 结论 已知动角∠Ａ＋动角∠Ｃ＝１８０°，可得 对角互补四边形的四个顶点共圆（圆 内接四边形性质） 已知ＡＢ的长度为定值，且线段 ＡＢ所 对同侧动角∠Ｐ＝∠Ｃ，可得共边三角 形且边所对角相等的四个顶点共圆 （同弧所对的圆周角相等） ５１ 培优册·辽宁数学 模 型 方 法 篇 模