模型06 对角互补模型- 【一战成名新中考】2024辽宁中考数学·培优册

培优册·辽宁数学 模 型 方 法 篇 模 型 六 　 对 角 互 补 模 型 模型六　对角互补模型 情形 图示 结论 含直角 一组邻 边相等 （ＡＤ＝ＣＤ） 邻边均 不相等 作垂直构全等 △ＡＥＤ≌△ＣＦＤ 旋转构等腰直角三角形 △ＢＤＧ是等腰直角三角形， 即ＤＢ＝ＤＧ 作垂直构相似 △ＡＥＤ∽△ＣＦＤ 不含 直角 一组邻 边相等 （ＡＤ＝ＣＤ） 邻边均 不相等 作垂直构全等 △ＡＥＤ≌△ＣＦＤ 旋转构等腰三角形 △ＢＤＧ是等腰三角形，即 ＤＢ＝ＤＧ 作垂直构相似 △ＡＥＤ∽△ＣＦＤ １１ 培优册·辽宁数学 模 型 方 法 篇 模 型 六 　 对 角 互 补 模 型 拓展模型———十字模型 基本 图形 正方形 矩形 辅助线 作法 — 过点 Ｇ作 ＧＨ⊥ ＡＢ于点Ｈ 过点Ｈ作ＨＮ⊥ＢＣ于点Ｎ，过点Ｇ作ＧＭ⊥ＡＢ 于点Ｍ 结论 ＤＥ＝ＡＦ， △ＡＤＥ≌△ＢＡＦ ＧＥ＝ＡＦ， △ＧＨＥ≌△ＡＢＦ ＧＥ＝ＨＦ， △ＨＦＮ≌△ＧＥＭ △ＨＦＮ∽△ＧＥＭ， 櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 毴 毴毴 毴 相似比为矩形邻边之比 典例精 讲 例　（优质原创）如图①，正方形 ＡＢＣＤ的边长为 ３，Ｏ是对角线ＡＣ上一点，且ＣＯ＝２ＡＯ，Ｅ是边ＣＤ 上一点，连接 ＯＥ，过点 Ｏ作 ＯＦ⊥ＯＥ，交 ＢＣ于 点Ｆ． （１）四边形ＣＥＯＦ的面积为　４　； 　 图① 　 图② 例题图 【点拨】过点Ｏ分别作ＣＤ，ＢＣ的垂线，构造全等三角形，将四边形ＣＥＯＦ的面积转化为一个 以ＯＣ为对角线的正方形面积． （２）如图②，延长ＯＥ交ＡＤ的延长线于点Ｍ，延长ＯＦ交ＤＣ的延长线于点Ｎ，则ＯＭＯＮ＝ ． 【点拨】过点Ｏ分别作ＡＤ，ＤＣ的垂线，构造相似三角形，将所求比值转为相似三角形的相 似比． 　　　　　　　　　　　　　　　　１．多解法 獉獉獉 如图，在矩形 ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝３，ＢＣ ＝５，点 Ｅ在对角线 ＡＣ上，连接 ＢＥ，作 ＥＦ ⊥ＢＥ，垂足为 Ｅ，直线 ＥＦ交线段 ＤＣ于点 Ｆ，则ＥＦＢＥ＝ ． 第１题图 　　 第２题图 ２．多解法 獉獉獉 如图，等边三角形ＡＢＣ的边长为４， Ｄ是边ＡＣ的中点，Ｅ在边ＡＢ上，ＢＥ＝１，点 Ｆ在边ＢＣ的延长线上，且∠ＥＤＦ＝１２０°，则 ＣＦ的长为　１　． ３．如图，正方形 ＡＢＣＤ的对角线交于点 Ｏ，点 Ｅ，Ｆ分别在ＡＢ，ＢＣ上（ＡＥ＜ＢＥ），且∠ＥＯＦ＝ ９０°，ＯＥ，ＤＡ的延长线交于点 Ｍ，ＯＦ，ＡＢ的 延长线交于点Ｎ，连接ＭＮ．若正方形ＡＢＣＤ 的边长为４，Ｅ为 ＯＭ的中点，则 ＭＮ的长 为　２槡１０　． 第３题图 　　 第４题图 ４．如图，在ＡＢＣＤ中，ＡＤ∶ＡＢ＝２∶３，点Ｅ，Ｆ，Ｇ 分别在边ＡＢ，ＡＤ，ＢＣ上，连接ＤＥ，ＦＧ相交 于点Ｏ，∠ＤＯＧ＋∠Ｃ＝１８０°，若 ＦＧ＝６，则 ＤＥ＝　４　                            ． ２１ 一战成名·辽宁数学 培 优 册 ≌△ＣＢＥ（ＡＡＳ），∴ＢＦ＝ＣＥ．在Ｒｔ△ＡＢＥ中，∵∠ＢＡＥ＝４５°， ∴ＢＥ＝ＡＥ，∴ＢＥ＋ＢＦ＝ＡＥ＋ＥＣ，即 ＥＦ＝ＡＣ，∴Ｓ△ＡＣＤ＝ １ ２ ＡＣ·ＥＦ＝１２ＡＣ ２＝４．５，∴ＡＣ＝３． 模型五　手拉手模型 例槡２２　【解析】如解图，将 ＣＤ绕点 Ｃ顺时针旋转９０°，点 Ｄ 的对应点为点Ｅ，连接ＡＥ，ＤＥ，则∠ＤＣＥ＝９０°，ＣＤ＝ＣＥ＝ ３，∴∠ＡＣＥ＝∠ＡＣＤ＋∠ＤＣＥ＝∠ＡＣＤ＋∠ＢＣＡ＝∠ＢＣＤ， ∵∠ＡＢＣ＝４５°，∠ＡＣＢ＝９０°，∴∠ＢＡＣ＝４５°，∴ＢＣ＝ＡＣ， △ＢＣＤ≌△ＡＣＥ（ＳＡＳ），∴ＢＤ＝ＡＥ，由旋转的性质可知 △ＣＤＥ为等腰直角三角形，∴∠ＣＤＥ＝４５°，ＤＥ 槡＝２ＣＤ＝ 槡３２，∴ ∠ＡＤＥ ＝∠ＡＤＣ ＋∠ＣＤＥ ＝９０°，∴ ＡＥ ＝ ＡＤ２＋ＤＥ槡 ２＝ ２２＋（槡３２）槡 ２ 槡＝ ２２，∴ＢＤ 槡＝ ２２． 例题解图 　 第１题解图 １．４，６０　【解析】如解图，延长 ＢＤ交 ＡＥ的延长线于点 Ｆ． ∵∠ＡＢＣ＝∠ＥＤＣ＝９０°，∠ＢＡＣ＝∠ＤＥＣ＝３０°，∴∠ＡＣＢ＝ ∠ＥＣＤ＝６０°，∴ＢＣＡＣ＝ ＣＤ ＣＥ＝ １ ２，∠ＢＣＤ＝∠ＥＣＡ，∴△ＢＣＤ∽ △ＡＣＥ，∴ＢＤＡＥ＝ ＢＣ ＡＣ＝ １ ２，∴ＡＥ＝２ＢＤ＝４；∵△ＢＣＤ∽ △ＡＣＥ，∴∠ＤＢＣ＝∠ＥＡＣ，∵∠ＤＢＣ＋∠ＡＣＢ＝∠ＥＡＣ＋ ∠