模型04 一线三等角模型(含弦图模型)&模型05手拉手模型- 【一战成名新中考】2024辽宁中考数学·培优册

培优册·辽宁数学 模 型 方 法 篇 模 型 四 　 一 线 三 等 角 模 型 ︵ 含 弦 图 模 型 ︶ 模型四　一线三等角模型（含弦图模型） 情形 图示 结论 等角在线同侧 　 △ＡＣＨ∽△ＢＨＤ， 若有一组边对应相等则全等 等角在线异侧 　 △ＡＨＣ∽△ＢＤＨ， 若有一组边对应相等则全等 内弦图 △ＡＢＥ≌△ＢＣＦ≌ △ＣＤＧ≌△ＤＡＨ 外弦图 △ＡＨＥ≌△ＢＥＦ≌ △ＣＦＧ≌△ 櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 毴 毴毴 毴 ＤＧＨ 典例精 讲 例　如图，在平行四边形 ＡＢＣＤ中，点 Ｅ在边 ＡＢ上，在边 ＢＣ上找一点 Ｆ，使得∠ＥＦＤ＝ ∠Ｂ．若∠Ｂ＝９０°，ＡＢ＝２，ＢＣ＝４，ＢＦ∶ＦＣ＝１∶３，则ＡＥ＝ ． 【点拨】当∠Ｂ＝９０°时，则存在一线三直角，利用相似列比例求解． 例题图 　　 第１题图 　　 第２题图 　　 第３题图 　　　　　　　　　　　　　　　１．如图，在 Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠ＡＣＢ＝９０°，ＡＣ＝ ＢＣ，过点 Ｂ作 ＢＥ⊥ＣＥ于点 Ｅ，过点 Ａ作 ＡＤ⊥ＣＥ于点Ｄ，若ＡＤ＝７，ＣＤ＝３，则ＢＤ＝ 　５　． ２．如图，沿直线 ＤＥ折叠等边三角形纸片 △ＡＢＣ，使Ａ点落在ＢＣ边上任意一点Ｆ处 （不与点Ｂ，Ｃ重合）．已知△ＡＢＣ的边长为 ９，Ｄ为 ＡＢ上一点，ＢＤ＝５，ＢＦ＝２，则 ＣＥ ＝ ． ３．如图，在△ＡＢＣ中，∠ＢＡＣ＝４５°，Ｄ为△ＡＢＣ 外一点，满足∠ＣＢＤ＝９０°，ＢＣ＝ＢＤ，若 Ｓ△ＡＣＤ＝４．５，则ＡＣ的长为　３　           ． ９ 培优册·辽宁数学 模 型 方 法 篇 模 型 五 　 手 拉 手 模 型 模型五　手拉手模型 情形 图示 结论 △ＡＢＣ和△ＡＤＥ均 为等腰三角形，且 ∠ＢＡＣ＝∠ＤＡＥ △ＡＢＤ≌△ＡＣＥ； ＢＤ＝ＣＥ； ＢＤ与ＣＥ之间的夹角 等于∠ＢＡＣ △ＡＢＣ和△ＤＣＥ均 为等边三角形 △ＢＣＤ≌△ＡＣＥ； ＢＤ＝ＡＥ； ∠ＡＭＢ＝∠ＢＡＣ＝６０° △ＡＢＯ和△ＥＦＯ均 为等腰直角三角形 △ＡＥＯ≌△ＢＦＯ； ＡＥ＝ＢＦ； ＡＥ⊥ＢＦ 四边形 ＡＢＣＤ和四 边形 ＡＥＦＧ均为正 方形 △ＡＢＧ≌△ＡＤＥ； ＢＧ＝ＤＥ； ＢＧ⊥ 櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 毴 毴毴 毴 ＤＥ 例题图 典例精 讲 例　如图，在四边形ＡＢＣＤ中，∠ＡＢＣ＝∠ＡＤＣ＝４５°，∠ＡＣＢ＝９０°．若ＡＤ ＝２，ＣＤ＝３，则ＢＤ＝　槡２２　． 【点拨】有两边相等，旋转构造“手拉手”模型，将 ＢＤ的长进行转化，有 ４５°角，再构造一个４５°角，得到直角三角形解答．即将ＣＤ绕点Ｃ顺时针 旋转９０°至ＣＥ，连接ＡＥ，ＤＥ，则ＡＥ＝ＢＤ，且△ＤＣＥ是等腰直角三角形． １．如图，在 △ＡＢＣ和 △ＥＤＣ中，∠ＡＢＣ＝ ∠ＥＤＣ＝９０°，∠ＢＡＣ＝∠ＤＥＣ＝３０°，连接 ＢＤ，ＡＥ，若ＢＤ＝２，则ＡＥ＝　４　，直线 ＢＤ 与直线ＡＥ的夹角为　６０　°． 第１题图 　　　 第２题图 ２．（优质原创）如图，△ＡＢＣ和△ＡＤＥ都是等 腰直角三角形，即ＡＢ＝ＡＣ，ＡＤ＝ＡＥ，∠ＢＡＣ＝ ∠ＤＡＥ＝９０°，Ｂ，Ｃ，Ｄ三点在同一条直线上． 若ＡＢ＝槡２，ＡＤ＝２，则ＣＤ＝　槡３－１　． ３．如图，四边形ＡＢＣＤ和四边形ＣＥＦＧ都是正 方形，连接 ＢＤ，ＢＧ，ＤＥ，若 ＢＤ＝ＢＧ，ＢＤ∥ ＣＧ，则∠ＢＤＥ＝　６０　°． 第３题图 　　 第４题图 ４．如图，边长为１的等边三角形 ＡＢＣ中，ＢＦ 是ＡＣ边上的中线，点Ｄ是线段ＢＦ上的动 点，连接 ＡＤ，在 ＡＤ的右侧作等边三角形 ＡＤＥ，连接 ＢＥ，则 ＡＥ＋ＢＥ的最小值 是　槡３　                         ． ０１ 一战成名·辽宁数学 培 优 册                  第１０题解图 ∵ＤＥ是△ＡＢＣ的中位线，∴ＤＥ∥ ＢＣ，ＤＥ＝１２ＢＣ＝６，ＡＦ＝ＦＨ，又∵ ＢＦ平分∠ＡＢＨ，∴ＢＨ＝ＡＢ＝８，∵ ＡＤ＝ＤＢ，ＡＦ＝ＦＨ，∴ＤＦ是△ＡＢＨ 的中位线，∴ＤＦ＝１２ＢＨ＝４，∴ＥＦ ＝ＤＥ－ＤＦ＝２． 模型三　必须掌握的五种构造 全等