模型01 中点模型- 【一战成名新中考】2024辽宁中考数学·培优册

书 培优册·辽宁数学 一、辽宁中考培优———模型方法篇 模 型 方 法 篇 模 型 一 　 中 点 模 型 模型一　中点模型 类型１　遇一边中点，想三角形中位线 图示 条件 点Ｄ是ＢＣ的中点 辅助线 作法 取ＡＢ的中点Ｅ（取ＡＣ的中点Ｆ），连 接ＤＥ（ＤＦ） 结论 ＤＥ∥ＡＣ；ＤＥ＝１２ＡＣ； △ＢＤＥ∽　△ＢＣＡ　； ＤＦ　∥　ＡＢ；ＤＦ＝ ； △ＣＤＦ∽　△ＣＢＡ　 １．如图，在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠Ｂ＝９０°，ＡＢ＝２，点Ｄ 是ＡＣ的中点，点Ｅ在边ＢＣ上，且∠ＤＥＣ＝ ４５°，则ＤＥ的长为　槡２　． 【点拨】有９０°角，４５°角，有中点，  作平行线 即可构造等腰直角三角形． 第１题图 　　 第２题图 ２．多解法 獉獉獉 如图，正方形ＡＢＣＤ和正方形ＥＦＣＧ 的边长分别为３和１，点Ｆ，Ｇ分别在边ＢＣ， ＣＤ上，Ｐ为 ＡＥ的中点，连接 ＰＧ，则 ＰＧ的 长为　槡５　． 类型２　遇直角三角形斜边中点，想斜边中线 图示 条件 △ＡＢＣ是直角三角形，点 Ｄ是斜边 ＡＢ的中点 辅助线 作法 连接ＣＤ 结论 ＣＤ＝１２ＡＢ，即 ＣＤ＝ＤＢ＝ＡＤ，∠Ｂ＝ ∠ＤＣＢ，∠Ａ＝∠ＡＣＤ ３．如图，在△ＡＢＣ中，∠ＡＣＢ＝９０°，Ｍ，Ｎ分别 是ＡＢ，ＡＣ的中点，延长ＢＣ至点Ｄ，使ＣＤ＝ １ ３ＢＤ，连接 ＤＭ，ＤＮ，ＭＮ．若 ＡＢ＝６，则 ＤＮ 的长为　３　． 【点拨】由题意得 ＭＮ∥ＢＣ，ＭＮ＝１２ＢＣ，结 合ＣＤ＝１３ＢＤ，得到 ＭＮ＝ＣＤ，那么连接 ＣＭ 可将求 ＤＮ的长转化为求 ＣＭ的长，而 ＣＭ 恰是Ｒｔ△ＡＢＣ斜边ＡＢ上的中线． 第３题图 　　 第４题图 ４．如图，将两个含３０°角的直角三角板摆放在 一起，Ｅ为 ＡＢ的中点，连接 ＤＥ．若 ＡＣ＝２， 则ＤＥ的长为　槡７　                                                             ． １ 培优册·辽宁数学 模 型 方 法 篇 模 型 一 　 中 点 模 型 类型３　遇等腰＋中点，想三线合一 图示 条件 ＡＢ＝ＡＣ，点Ｄ是ＢＣ的中点 辅助线 作法 连接ＡＤ 结论 ＡＤ⊥ＢＣ，ＡＤ平分∠ＢＡＣ ５．如图，在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ＝５，ＢＣ＝６，点 Ｍ为ＢＣ的中点，ＭＮ⊥ＡＣ于点Ｎ，则ＭＮ的 长为 ． 【点拨】有等腰三角形及底边上的中点，想 到连接  ＡＭ． 第５题图 　 ６．（优质原创）如图，在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ， ∠ＢＡＣ＝１２０°，点 Ｄ是 ＢＣ的中点，点 Ｅ是 ＡＢ的四等分点，且靠近点 Ａ，若 Ｓ△ＢＤＥ＝ ３槡３ ８，求ＢＣ的长． 第６题图 解：如解图，连接ＡＤ， ∵ＡＢ＝ＡＣ，∠ＢＡＣ＝１２０°， ∴∠Ｂ＝∠Ｃ＝３０°， 又∵点Ｄ是ＢＣ的中点，∴ＡＤ⊥ＢＣ， ∴ＡＤ＝槡３３ＢＤ，∴Ｓ△ＡＢＤ＝ １ ２ＢＤ·ＡＤ＝ 槡３ ６ＢＤ ２， ∵点Ｅ是 ＡＢ的四等分点，且靠近点 Ａ，Ｓ△ＢＤＥ＝ ３槡３ ８，∴Ｓ△ＡＢＤ＝ ４ ３Ｓ△ＢＤＥ＝ 槡３ ２，即 槡３ ６ＢＤ ２＝槡３２， ∴ＢＤ＝槡３（负值已舍去），∴ＢＣ＝２ＢＤ＝２槡３． 类型４　遇过中点的垂线，想垂直平分线 图示 条件 点Ｄ是ＢＣ的中点，ＤＥ⊥ＢＣ 辅助线 作法 连接ＢＥ 结论 ＢＥ＝ＣＥ；ＥＤ平分∠ＢＥＣ； ∠ＥＢＣ＝∠ＥＣＢ ７．如图，在 Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠Ａ＝９０°，∠ＢＣＡ＝ ７５°，ＡＣ＝８，点 Ｄ是 ＢＣ中点，过点 Ｄ作 ＥＤ⊥ ＢＣ，交 ＡＢ于 点 Ｅ，则 ＢＥ的 长 是　１６　． 第７题图 【点拨】连接  ＥＣ，将求ＢＥ的长转化到含３０  °  角的直角三角形中求ＣＥ的长． ８．如图，在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠ＡＣＢ＝９０°，ＢＣ＝３， ＡＣ＝４，ＡＢ的垂直平分线ＤＥ交ＢＣ的延长 线于点Ｅ，则ＣＥ的长为 ． 第８题图 ９．（优质原创）如图，在平行四边形 ＡＢＣＤ中， ∠Ｂ＝４５°，点 Ｅ是边 ＢＣ的中点，过点 Ｅ作 ＥＦ⊥ＢＣ交ＡＢ于点Ｆ．若ＡＦ＝１，ＥＦ＝槡２，则 对角线ＡＣ＝　槡５　． 第９题图                                                                          ２ 培优册·辽宁数学 模 型 方 法 篇 模 型 一 　 中 点 模 型 类型５　遇弦（或弧）的中点，想垂径定理 及圆周角定理 图示 条件 ＦＣ是⊙Ｏ的直 径，Ｅ是弦 ＡＢ 的中点 点Ｃ是 ) ＡＢ的中