广东省广州市中山大学附属中学2023-2024学年高三上学期一月月考数学试题

中大附中高三年级一月月考数学试题 一、单选题 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 充要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 正多面体被古希腊圣哲认为是构成宇宙的基本元素.如图，该几何体是一个棱长为的正八面体，则此正八面体的体积与表面积的数值之比为（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 6. 若函数，的值域为，则的取值范围是（ ） A. B. C D. 7. 向量，且，则（ ） A. B. C. D. 8. 如图，已知双曲线的左､右焦点分别为，，过的直线与分别在第一､二象限交于两点，内切圆半径为，若，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 已知斜率为的直线经过抛物线的焦点，与抛物线交于点两点（点在第一象限），与抛物线的准线交于点，若，则以下结论正确的是（ ） A. B. C. D. 为中点 10. 在平面直角坐标系中，已知角顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则下列结论正确的是（ ） A. B. 是的图象的一条对称轴 C. 将函数图象上的所有点向左平移个单位长度，所得到的函数解析式为 D. 在内恰有3个零点 11 若函数，则（ ） A. 是奇函数 B. 有且仅有2个极值点 C. 有且仅有1个零点 D. 的一条切线方程为 12. 如图，已知二面角的棱上有，两点，，，，，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. 当二面角的大小为时，与平面所成的角为 C. 若，则四面体的体积为 D. 若，则二面角的余弦值为 三、填空题 13. 在平面直角坐标系中，圆关于直线对称的圆为，则的方程为______． 14. 在中，，若，则_______． 15. 与直线和直线都相切且圆心在第一象限，圆心到原点的距离为的圆的方程为_________． 16. 设双曲线()的右焦点为F，过F作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为H，若(O为坐标原点)，则双曲线C的离心率为_______． 四、解答题 17. 已知，，分别是三角形三个内角，，的对边，已知，， （1）求的值； （2）求的周长. 18. 已知等比数列第二､三､四项分别是等差数列的第二､五､十四项，且等差数列的首项，公差. （1）求数列与的通项公式； （2）设数列对任意均有成立，求值. 19. 已知四边形为矩形，，，且平面，点为上的点，且平面，点为中点. （1）求证：平面； （2）求与平面所成线面角的正弦值. 20. 设动圆与圆外切，与圆内切. （1）求点的轨迹的方程； （2）过点且不与轴垂直的直线交轨迹于，两点，点关于轴的对称点为，为的外心，试探究是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由. 21. 中国象棋是中国棋文化，也是中华民族的文化瑰宝，它源远流长，趣味浓厚，基本规则简明易懂.在中国有着深厚的群众基础，是普及最广的棋类项目.某地区举行中国象棋比赛，先进行小组赛，每三人一组，采用单循环赛（任意两人之间只赛一场），每场比赛胜者积3分，负者积0分，平局各1分.根据积分排名晋级淘汰赛，若出现积分相同的情况，则再进行加赛.已知甲、乙、丙三人分在同一个小组，根据以往比赛数据统计，甲、乙对局时，甲胜概率为，平局概率为；甲、丙对局时，甲胜概率为，平局概率为；乙、丙对局时，乙胜概率为，平局概率为.各场比赛相互独立，若只考虑单循环赛的三场比赛，求： （1）甲积分的期望； （2）甲、乙积分相同的概率 22. 已知函数. （1）讨论函数的极值点个数； （2）若不等式恒成立，求实数的取值范围. 中大附中高三年级一月月考数学试题 一、单选题 【1题答案】 【答案】C 【2题答案】 【答案】A 【3题答案】 【答案】B 【4题答案】 【答案】D 【5题答案】 【答案】C 【6题答案】 【答案】D 【7题答案】 【答案】A 【8题答案】 【答案】D 二、多选题 【9题答案】 【答案】BCD 【10题答案】 【答案】AB 【11题答案】 【答案】AC 【12题答案】 【答案】AD 三、填空题 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】0 【15题答案】 【答案】 【16题答案】 【答案】 四、解答题 【17题答案】 【答案】（1） （2）14 【18题答案】 【答案】（1）. （2） 【19题答案】 【答案】（1）证明见解析 （2） 【20题答案】 【答案】（1） （2）是， 【