2024年九年级数学中考复习 二次函数与相似三角形综合压轴题 专题训练

2024年九年级数学中考复习 二次函数与相似三角形综合压轴题 专题训练 1．如图，直线与轴交于点，与轴交于点．把沿轴翻折，点A落到点，过点B的抛物线与直线交于点． (1)求直线和抛物线的解析式； (2)在第一象限内的抛物线上，是否存在一点M，作垂直于轴，垂足为点N，使得以M、O、N为顶点的三角形与相似？若存在，求出点M的坐标． 若不存在，请说明理由． 2．如图，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，连接． (1)求点A、B、C的坐标； (2)设x轴上的一个动点P的横坐标为t，过点P作直线轴，交抛物线于点N，交直线于点M． ①当点P在线段上时，设的长度为s，求s与t的函数关系式； ②当点P在线段上时，是否存在点P，使得以O、P、N三点为顶点的三角形与相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 3．如图，抛物线y=x2+bx+c经过A(0，−2)、B(8，−2)两点，点C为抛物线的对称轴与x轴的交点，连接AC、AB． (1)求抛物线的函数表达式； (2)点E在AB下方的抛物线上，过点E作EF⊥AB于点F，连接AE，是否存在点E，使得△AEF与△AOC相似？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 4．如图，已知抛物线的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴与x轴交于点D． 点M从O点出发，以每秒1个单位长度的速度向B运动，过M作x轴的垂线，交抛物线于点P，交BC于Q． （1）求点B和点C的坐标； （2）设当点M运动了x(秒)时，四边形OBPC的面积为S，求S与x的函数关系式，并指出自变量x取值范围． （3）在线段BC上是否存在点Q，使得△DBQ成为以BQ为一腰的等腰三角形？若存在，求出点Q的坐标，若不存在，说明理由． 5．已知抛物线的对称轴为直线x=1，其图象与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C（0，3）． （1）求抛物线的解析式； （2）直线与x轴相交于点P． ①如图1，若∥y轴，且与线段AC及抛物线分别相交于点E，F，点C关于直线x=1 的对称点为点D，求四边形CEDF面积的最大值； ②如图2，若直线与线段BC相交于点Q，当△PCQ∽△CAP时，求直线的表达式．    6．如图，已知抛物线y=ax2+bx+3交x轴于A、B两点（A在B左边），交y轴于C点，且OC=3OA，对称轴x=1交抛物线于D点． （1）求抛物线解析式； （2）在直线BC上方的抛物线上找点E使S△BCD=S△BCE，求E点的坐标； （3）在x轴上方的抛物线上，是否存在点M，过M作MN⊥x轴于N点，使△BMN与△BCD相似？若存在，请求出M的坐标；若不存在，请说明理由． 7．如图，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过点，． （1）求抛物线的解析式； （2）为轴上一动点，过点作轴，交直线于点，交抛物线于点，连接． ①点在线段上运动，若直角三角形，求点的坐标； ②点在轴的正半轴上运动，若．请直接写出的值． 8．已知抛物线经过点，与y轴交于点C．    (1)求这条抛物线的解析式； (2)如图1，点P是第三象限内抛物线上的一个动点，当四边形的面积最大时，求点P的坐标； (3)如图2，线段的垂直平分线交x轴于点E，垂足为D，M为抛物线的顶点，在直线上是否存在一点G，使的周长最小？若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由． 9．如图，抛物线经过点、，交x轴于另一点B，点在第二象限的抛物线上．      (1)求该抛物线的函数表达式； (2)过点P作轴于点D，交于点E，作交y轴于点F． ①求出四边形的周长l与m的函数表达式，并求l的最大值； ②当四边形是菱形时，请求出P点的横坐标； ③是否存在点P，使得以P、E、C为顶点的三角形与相似？若存在，请求出满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 10．综合与探究 如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，对称轴为直线，为抛物线的顶点．    (1)求抛物线的解析式； (2)连接，为线段上的动点，连接，当与相似时，求出点的坐标； (3)在抛物线的对称轴上是否存在一点，使得是等腰三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 11．在平面直角坐标系中，抛物线与轴的两个交点分别为，与y轴相交于点C，连接，已知点． (1)求两点坐标和抛物线的解析式； (2)设点P是抛物线上在第一象限内的动点（不与重合），过点P作，垂足为点． ①点P在运动过程中，线段的长度是否存在最大值？若存在，求出最大值以及此时点D的坐标；若不存在，请说明理由： ②当以为顶点的三角形与相似时，求点P的坐标． 12．如图，在平面直角坐标系中，点坐标为，点在轴正半轴上，连接，将绕点逆时针旋转90°，后得到，抛物线经过、、三点，点为抛物线的顶点，连接、． (1)求抛物线的表达式