2024年数学中考专题特训：锐角三角函数（解答题篇）

2024年数学中考专题特训：锐角三角函数（解答题篇） 1．在中，，，，解这个直角三角形． 2．安徽怀宁县的独秀山是怀宁的祖山，爬山是当地居民周末娱乐休闲、锻炼身体的方式之一．如图，某周末小军同学从独秀山山底沿斜坡爬了130米到达处，紧接着又向上爬了坡角为的山坡90米，最后到达山顶处，若的坡度为，请你计算独秀山的高度（结果保留根号）． 3．如图，在平行四边形中，M为中点，，，，动点P从点M出发，沿M－B－A以每秒1个单位的速度向终点A运动．连接，过点P作，且，连接，点A和点Q始终在直线的同侧．设运动的时间为t秒．（） (1)当点P沿M－B－A运动时，求的长（用含t的代数式表示）． (2)当点Q落在边上时，求t的值． (3)连接，当与平行四边形的边平行时，直接写出t的值． 4．在公主岭南站的公主故里广场，有一尊标志性的大清固伦和敬公主雕像，某“数学综合与实践”小组通过实地测量（如示意图）和查阅资料，得到了以下信息： 信息一：雕塑底座高为米． 信息二：在P处用测角仪测得雕像最高点仰角为，雕塑底座最高点的仰角为． 信息三：点在垂直地面的同一条直线上. 信息四：参考数据，． 请根据以上信息，求公主雕像的高度（精确到米）． 5．如图，建筑物上有一旗杆，从与相距20m的D处观测旗杆顶部A的仰角为 ，观测旗杆底部B 的仰角为 ，求旗杆的高度（结果取整数）．参考数据： ． 6．小杰在学习了“仰角、俯角、坡比”后，他在自己居住的小区设计了如下测量方案：小杰利用小区中的一个斜坡，首先在斜坡的底端测得高楼顶端的仰角是，然后沿斜坡向上走到处，再测得高楼顶端的仰角是，已知斜坡的坡比是，斜坡的底端到高楼底端的距离是米，且、、三点在一直线上如图所示．假设测角仪器的高度忽略不计，请根据小杰的方案，完成下列问题： (1)求高楼的高度； (2)求点离地面的距离结果精确到米．(参考数据：，，，) 7．如图，矩形中，，，，分别为上两个动点，连接，将矩形沿折叠，点，的对应点分别为，． (1)如图，当点落在边上时，连接． ①求的值； ②若点为的中点，求的长． (2)如图，若为的中点，，求的值． 8．为了加快我省城乡公路建设，我省计划“十三五”期间高速公路运营里程达1000公里，进一步打造城乡快速连接通道，某地计划修建一条高速公路，需在小山东西两侧A，B之间开通一条隧道，工程技术人员乘坐热气球对小山两侧A、B之间的距离进行了测量，他们从A处乘坐热气球出发，由于受西风的影响，热气球以30米分的速度沿与地面成角的方向飞行，30分钟后到达C处，此时热气球上的人测得小山西侧B点的俯角为，则小山东西两侧A、B两点间的距离为多少米？ 9．如图，在中，，，，动点从点出发，沿以每秒5个单位长度的速度向终点运动，过点作于点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连结．设点的运动时间为秒（）． (1)线段的长为________（用含的代数式表示）． (2)当点与点重合时，求的值． (3)当、、三点共线时，求的值． (4)当为钝角三角形时，直接写出的取值范围． 10．如图，在平面直角坐标系xOy中，正比例函数的图像与反比例函数的图像交于点． (1)求这个反比例函数的解析式； (2)点B在这个反比例函数位于第一象限的图像上，过点B作轴，垂足为点H．如果，求点B的坐标． 11．如图，是的内接三角形，设，；    (1)猜想关于的函数表达式，并给出证明． (2)若，，，求的长． 12．如图，小河的对岸有一座小山，小明和同学们想知道山坡AB的坡度，但由于山坡AB前有小河阻碍，无法直接从山脚B处测得山顶A的仰角，于是小明和同学们展开了如下的测量：    第一步：从小河边的C处测得山顶A的仰角为； 第二步：从C处后退30米，在D处测得山顶A的仰角为； 第三步：测得小河宽BC为33米． 已知点B、C、D在同一水平线上，请根据小明测量的数据求山坡AB的坡度． （参考数据：，，，，，） 13．如图，在矩形中，，，是边延长线上一点，过点作，垂足为点，联结，设． (1)求证∶； (2)∠的大小是否是一个确定的值？如果是，求出．的正切值；如果不是，那么用含字母的代数式表示的正切值； (3)是边上一动点(不与点、重合)，联结、．随着点位置的变化，在中除外的两个内角是否会有与相等的角，如果有，请用含字母的代数式表示此时线段的长；如果没有，请说明理由． 14．如图，将边长为15的正方形置于直角坐标系中，、分别与x轴、y轴的正半轴重合，边长为的等边的边垂直于x轴，从点A与点O重合的位置开始，以每秒1个单位长的速度先向右平移，当边与直线重合时，继续以同样的速度向上平移，当点C与点F重合时，停止移动．设运动时间为x秒，的面积为y．    (1)当x为何值时，P、A、B三点在同一直线上，求出此时A点的坐标； (2)在向右平移的过程中，当