专题跟踪检测23 圆锥曲线中的最值、范围问题（Word练习）-【创新方案】2024年高考数学二轮复习专题辅导与测试（新教材）

专题跟踪检测（二十三） 圆锥曲线中的最值、范围问题 1．(2023·广州模拟)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率e＝，且过点. (1)求椭圆C的方程； (2)如图，过椭圆C的右焦点F作两条相互垂直的直线AB，DE交椭圆分别于A，B，D，E，且满足＝，＝，求△MNF面积的最大值． 解：(1)根据条件得解得a2＝2，b2＝1，所以椭圆C：＋y2＝1. (2)根据＝，＝可知，M，N分别为AB，DE的中点，且直线AB，DE斜率均存在且不为0. 现设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的方程为x＝my＋1，不妨设m>0，联立椭圆C得(m2＋2)y2＋2my－1＝0， 得y1＋y2＝－，x1＋x2＝m(y1＋y2)＋2＝，则M，|MF|＝， 同理可得|NF|＝， 所以△MNF的面积S△MNF＝|MF||NF|＝.令t＝m＋≥2， 那么S△MNF＝＝≤，所以当t＝2，m＝1时，△MNF的面积取得最大值. 2．已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的左顶点为A，焦距为4，过右焦点F作垂直于x轴的直线交C于B，D两点，且△ABD是直角三角形． (1)求双曲线C的方程； (2)M，N是C右支上的两动点，设直线AM，AN的斜率分别为k1，k2，若k1k2＝－2，求点A到直线MN的距离d的取值范围． 解：(1)依题意，∠BAD＝90°，焦半径c＝2， 由AF＝BF，得a＋c＝，得a2＋2a＝22－a2，解得a＝1(其中a＝－2＜0舍去)． 所以b2＝c2－a2＝4－1＝3. 故双曲线C的方程为x2－＝1. (2)显然直线MN不可能与x轴平行，故可设直线MN的方程为x＝my＋n，联立 消去x整理得(3m2－1)y2＋6mny＋3(n2－1)＝0， 在条件下，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则y1＋y2＝－，y1y2＝. 由k1k2＝－2，得y1y2＋2(x1＋1)(x2＋1)＝0， 即y1y2＋2(my1＋n＋1)(my2＋n＋1)＝0， 整理得(2m2＋1)y1y2＋2m(n＋1)(y1＋y2)＋2(n＋1)2＝0， 3(n2－1)(2m2＋1)－12m2n(n＋1)＋2(n＋1)2(3m2－1)＝0， 化简得n2－4n－5＝0， 解得n＝5或n＝－1(舍去)， 则直线MN的方程为x－my－5＝0，得d＝. 又M，N都在双曲线的右支上， 故有3m2－1＜0,0≤m2＜， 此时1≤＜，d＝∈(3，6]， 所以点A到直线MN的距离d的取值范围为(3，6]． 3．(2023·日照二模)如图，已知抛物线C1：x2＝y在点A处的切线l与椭圆C2：＋y2＝1相交，过点A作l的垂线交抛物线C1于另一点B，直线OB(O为直角坐标原点)与l相交于点D，记A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1>0. (1)求x1－x2的最小值； (2)求的取值范围． 解：(1)对函数y＝x2求导得y′＝2x，所以抛物线C1在点A处的切线方程为y－y1＝2x1(x－x1)，即y＝2x1x－x. 联立得(1＋8x)x2－8xx＋2x－2＝0，所以Δ＝64x－4(1＋8x)(2x－2)>0，解得0<x<4＋. 所以直线AB的方程为y＝－x＋x＋. 联立得2x1x2＋x－2x－x1＝0，所以x1＋x2＝－. 所以x1－x2＝2x1＋≥2＝2， 当且仅当x1＝时取等号． 所以x1－x2的最小值为2. (2)记点O，B到直线l的距离分别为d1，d2， 所以d1＝，d2＝＝.所以＝＝＝. 因为0<x<4＋，所以＋4>， 所以＝∈. 所以的取值范围为. 4．(2023·辽阳模拟)已知椭圆C：＋＝1(b>0)与y轴交于A(0，b)，B(0，－b)两点，椭圆上异于A，B两点的动点D到A，B两点的斜率分别为k1，k2，已知k1k2＝－. (1)求椭圆C的方程； (2)过定点G(－1，－1)与动点D的直线，与椭圆交于另外一点H，若AH的斜率为k3，求k2＋k3的取值范围． 解：(1)取D(x0，y0)在椭圆上，∴＋＝1， ∴y＝b2－.又∵k1＝，k2＝， ∴－＝k1k2＝·＝＝＝－，∴b＝1. ∴椭圆C的方程为＋y2＝1. (2)当直线GD的斜率存在时， 设直线GD的方程为y＝kx＋k－1＝kx＋m，其中m＝k－1. 将直线方程代入x2＋4y2－4＝0得，(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0. ∵Δ＝64k2m2－4(4k2＋1)(4m2－4)＝64k2＋16－16m2＝16(3k2＋2k)>0， ∴k>0或k<－.取D(x0，y0)，H(x1，y1)为交点，∴x0＋x1＝，x0x1＝. ∴k1＋k3＝＋＝＋＝2k＋(m－1)＝2k＋(m－1)＝2k－＝2k－2m＝2，∴k3＝2－k1. 又∵k1k2＝－，∴k2＋k3＝2－－k1. 取f(x)＝2－－x(x≠0)，