第04讲 随机事件、频率与概率（专项训练）（全国通用）2027年高考数学一轮复习讲练测

第04讲 随机事件、频率与概率 目 录 模拟·基础演练 2 题型01 随机事件与样本空间 2 题型02 随机事件之间的关系与运算 3 题型03 频率估计概率 5 题型04 随机事件的概率 7 题型05 互斥事件与对立事件的判断 9 题型06 利用互斥事件与对立事件计算概率 12 重难·创新演练 15 真题·实战演练 19 模拟·基础演练 考查重点：随机事件与样本空间识别、事件间交并运算、频率估计概率、随机事件概率求解，互斥与对立事件的辨析判定，借助互斥、对立事件性质计算概率，覆盖概率入门核心基础考点，侧重概念理解辨析与基础概率运算。 题型01 随机事件与样本空间 1．下列关于事件的概率的说法不正确的是（   ） A．从全是黑球的袋中取出红球的概率是0 B．从全是黑球的袋中取出黑球的概率是1 C．太阳从西方升起的概率是0 D．明天是晴天的概率是1 【答案】D 【分析】详解】选项A，C是不可能事件，它们的概率都是0，正确． 选项B是必然事件，概率是1，正确． 选项D不是必然事件，概率不是1，D错误． 故选：D. 2．做投掷一颗骰子的试验，观察骰子出现的点数，则事件“出现奇数点”用集合表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】骰子六个面的数字分别为：，其中奇数有，所以事件“出现奇数点”用集合表示为. 3．在抽查作业的试验中，下列各组事件都是基本事件的是（    ） A．抽到第一组与抽到第二组 B．抽到第一组与抽到男学生 C．抽到女学生与抽到班干部 D．抽到班干部与抽到学习标兵 【答案】A 【分析】详解】在A中，抽到第一组与抽到第二组不能同时发生，都是基本事件，故A正确; 在B中，抽到第一组与抽到男学生有可能同时发生，不都是基本事件，故B错误; 在C中，抽到女学生与抽到班干部有可能同时发生，不都是基本事件，故C错误; 在D中，抽到班干部与抽到学习标兵有可能同时发生，不都是基本事件，故D错误． 故选：A 4．先后抛均匀的五角、一元硬币各一枚，观察落地后硬币的正反面情况，则下列事件包含3个样本点的是（　 　） A．“至少一枚硬币正面向上” B．“只有一枚硬币正面向上” C．“两枚硬币都是正面向上” D．“两枚硬币都是反面向上” 【答案】A 【分析】详解】“至少一枚硬币正面向上”包括“五角向上，一元向下”“五角向下，一元向上”“五角、一元都向上”三个样本点． 故选：A. 5．（多选）给出下列四个命题，其中正确的命题有（    ） A．“三个球全部放入两个盒子，其中必有一个盒子有一个以上的球”是必然事件 B．“当x为某一实数时可使”是不可能事件 C．“明天竹山要下雨”是必然事件 D．“从含有5个次品的100个灯泡中取出5个，5个都是次品”是随机事件. 【答案】ABD 【分析】详解】A，根据抽屉原理，将三个球放入两个盒子，至少有一个盒子里的球数大于等于2，即必然有一个盒子有一个以上的球，所以是必然事件，正确， B，对任意实数x，有，正确， C，下雨是随机事件，错误， D，从100个灯泡中取出5个次品是随机事件，正确. 故选：ABD 题型02 随机事件之间的关系与运算 6．抛掷3枚质地均匀的硬币，记事件{至少1枚正面朝上}，{至多2枚正面朝上}，事件{没有硬币正面朝上}，则下列正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】详解】记事件{1枚硬币正面朝上}，{2枚硬币正面朝上}，{3枚硬币正面朝上}，则，， 显然，，，C不含于A. 故选：D 7．抛掷一枚质地均匀的骰子，事件“向上的点数为1”，事件“向上的点数为5”，事件“向上的点数为1或5”，则有（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】详解】根据事件之间的关系,知事件发生当且仅当事件发生或事件发生,所以. 故选：C. 【点睛】本题主要考查了事件的基本关系,属于基础题. 8．事件和事件为独立随机事件，事件表示为事件和至少一个发生，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】详解】由题意，． 9．如图，一个电路中有，，三个电器元件，事件“元件工作正常”，事件“元件工作正常”，事件“元件工作正常”，则下列事件：①；②；③；④；⑤；⑥.表示事件“电路一定是断路”的个数为（    ）    A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】详解】①表示元件A正常且元件B不正常；②表示元件A正常且元件C不正常； ③表示元件A不正常且元件B正常；④表示元件A不正常且元件C正常； ⑤表示元件A正常且元件B不正常或元件C不正常； ⑥表示元件A正常且元件B和C都不正常，故③④⑥表示电路一定是断路． 10．（多选）一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红色球（标号为1和2），2个绿色球（标号为3和4），从袋中不放回地依次随机摸出2个球，每次摸出一个球，设事件“第一次摸到红球”，“两次都摸到红球”，“两次都摸到绿球”，“两球颜色相同”，“两球颜色不同”，则（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】详解】对于A，因“第一次摸到红球”，“两次都摸到红球”，则，A不正确； 对于B，“两次都摸到红球”，“两次都摸到绿球”，两个事件没有公共的基本事件，，B不正确； 对于C，“两次都摸到红球”，“两次都摸到绿球”，“两球颜色相同”， R或G表示摸的两个球的颜色相同，即，C正确； 对于D，“两球颜色相同”，“两球颜色不同”，由对立事件的定义知，D正确. 故选：CD 题型03 频率估计概率 11．已知某种设备在一年内需要维修的概率为0.2．用计算器进行模拟实验产生1~5之间的整数随机数，当出现随机数1时，表示一年内需要维修，由于有2台这样的设备，所以每2个随机数为一组，代表两台设备一年内需要维修的情况，现产生20组随机数如下： 41  45  31  53  22  34  15  25  42  14  43  41  13  43  12  23  31  23  35  44 据此估计一年内这2台设备都不需要维修的概率为（     ） A．0.4 B．0.6 C．0.64 D．0.8 【答案】B 【详解】满足不需要维修的随机数有：45,53,22,34,25,42,43,43,23,23,35,44，共有12个， 所以一年内这2台设备都不需要维修的概率为 12．一个不透明的袋子里装有红、白两种小球总计20个，除颜色外其余完全相同，有放回地随机摸取100次球，发现有61次是红球，则估计袋子内红球的个数约为（   ） A．6 B．8 C．12 D．14 【答案】C 【详解】袋子内红球的个数约为（个）. 13．青城山是著名的旅游胜地．天气预报中秋节连续三天，每天下雨的概率为0.5，现用随机模拟的方法估计三天中至少有两天下雨的概率：先由计算器产生0到9之间的整数值的随机数，指定0，1，2，3，4表示当天下雨，5，6，7，8，9表示当天不下雨，每3个随机数为一组，代表三天是否下雨的结果，经随机模拟产生了20组随机数： 926  446  072  021  392  077  663  817  325  615 405  858  776  631  700  259  305  311  589  258 据此估计三天中至少有两天下雨的概率约为________． 【答案】0.5/ 【分析】详解】由题意，随机数中0，1，2，3，4表示当天下雨，5，6，7，8，9表示当天不下雨， ＂三天中至少有两天下雨＂等价于每组 3 个随机数中属于 的数字个数. 逐一核对 20 组随机数，符合条件的有： 446 、 072 、 021 、 392、 325 、 405 、 631 、 700 、 305 、 311 ，共 10 组. 根据频率估计概率，可得三天中至少有两天下雨的概率约为 . 14．长时间玩手机可能影响视力，据调查，某校学生大约30%的人近视，而该校大约有40%的学生每天玩手机超过，这些人的近视率约为60%．现从每天玩手机不超过的学生中任意调查一名学生，则他近视的概率为___________． 【答案】/0.1 【分析】详解】解：设该校有a名同学，则约有0.3a的学生近视，约有0.4a的学生每天玩手机超过， 且每天玩手机超过2的学生中近视的有的学生， 所以有0.6a的学生每天玩手机不超过2且其中有的学生近视， 所以从每天玩手机不超过2的学生中任意调查一名学生，则他近视的概率为． 故答案为：． 15．商场在一周内共卖出某种品牌的皮鞋双，商场经理为考察其中各种尺码皮鞋的销售情况，以这周内某天售出的双皮鞋的尺码为一个样本，分为组，已知第组的频率为，第，，组的频数分别为，，，若第组表示的是尺码为的皮鞋，则售出的这双皮鞋中尺码为的皮鞋约为______双． 【答案】 【分析】详解】因为第，，组的频数分别为，，， 所以第，，组的频率分别为，，， 又因为第组的频率为， 所以第组的频率为， 所以售出的这双皮鞋中尺码为的皮鞋约为双， 故答案为：. 题型04 随机事件的概率 16．一个笔盒中装有6支笔，其中3支黑色，2支红色，1支蓝色．若从中任取2支，则“恰有1支黑色”的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】详解】由题意，“恰有1支黑色”的概率是 . 故选：A 17．某冷饮店有“桃喜芒芒”“草莓啵啵”“蜜桃四季春”“芋圆葡萄”四种饮品可供选择，现有四位同学到店每人购买一杯饮品，则恰有两种饮品没人购买的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】详解】解决该问题，可以将四位同学先分为2，2或3，1两堆，共有种分堆方法， 再从4种饮品中选出2种，分配给两堆人， 故共有种方法. 所以恰有两种饮品没人购买的概率为. 故选：A 18．甲、乙、丙、丁4人各自写了1张贺卡，将这4张贺卡随机分给这4人，每人分得1张，则至多有1人得到自己写的贺卡的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】详解】设样本空间为，至多有1人得到自己写的贺卡为事件A，得到自己写的贺卡的人数为， 则，， 若，即4人全部得到自己写的贺卡，此时只有1种结果，可得； 若，即有2人得到自己写的贺卡，共有种结果，可得； 所以. 19．生活中人们常用“通五经贯六艺”形容一个人才识技艺过人，这里的“六艺”其实源于中国周朝的贵族教育体系，具体包括“礼、乐、射、御、书、数”.为弘扬中国传统文化，某校在周末学生业余兴趣活动中开展了“六艺”知识讲座，每艺安排一节，连排六节，则满足“数”必须排在前两节，“礼”和“乐”必须相邻安排的概率为______ 【答案】 【分析】详解】由题意知基本事件总数，“数”必须排在前两节， “礼”和“乐”必须相邻可以分两类安排： ① “数”排在第一位，“礼”和“乐”两门课程相邻排课， 则礼，乐相邻的位置有4个，考虑两者的顺序，有2种情况， 剩下的3个全排列，安排在其他三个位置， 有种情况，故有种， ②“数”排第二位，“礼”和“乐”两门课程相邻排课， 则礼，乐相邻的位置有3个，考虑两者的顺序，有2种情况， 剩下的3个全排列，安排在其他三个位置， 有种情况，则有种情况， 由分类加法原理知满足“数”必须排在前两节， “礼”和“乐”必须相邻安排共有种情况， 所以满足“数”必须排在前两节， “礼”和“乐”必须相邻安排的概率为. 故答案为：. 【点睛】本题考查了排列组合在求概率中的应用，考查了特殊位置法和分类思想的应用，有一定的计算，属于在中档题.解决排列组合的问题主要有一下几种方法： （1）相邻问题捆绑法； （2）不相邻问题插空法； （3）特殊位置法； （4）平均分组法等方法. 20．一个盒子中有个白球（计分），个相同的红球（计分）和个不同的彩球（计分），小阳每次从盒中随机摸出个球，要求摸完不放回盒中，则次均摸到红球的概率是______，若得分时即停止摸球，则所有可能的摸球方式共有______种．（用数字作答） 【答案】 【分析】详解】由题意得，盒子中共有球个，红球个，则两次都摸到红球的概率为：， 若得分则停止摸球，则摸球的可能情况有： 摸球一次得分时,只需从六个彩球中摸出一个，共有种可能； 摸球两次得分时，则摸出的球颜色可以为：白彩，红彩，红红三类，共有种情况 摸球三次得分时，则摸出球的颜色可以为：白红红，白红彩，红白红，红白彩，共有 种情况， 综上，共有种方式. 故答案为：，. 【点睛】本题考查随机事件概率的计算，考查计数原理，难度一般，解答时注意分类讨论. 21．已知集合，在M中可重复地依次取出三个数a，b，c，则“以a，b，c为边长恰好构成三角形”的概率是________． 【答案】 【分析】详解】从三个数里取三次，共有种情况，其中只有，，，，，， ，，，，，等12种情况无法构成三角形， 则“以a，b，c为边长恰好构成三角形”的概率为. 题型05 互斥事件与对立事件的判断 22．抛掷一枚骰子，记事件A为“落地时向上的点数是奇数”，事件B为“落地时向上的点数是偶数”，事件C为“落地时向上的点数是3的倍数”， 事件D为“落地时向上的点数是6或4”，则下列每对事件是互斥事件但不是对立事件的是（    ） A．A与B B．A与C C．B与C D．A与D 【答案】D 【分析】详解】由题设，样本空间，事件，事件，事件，事件， 所以是互斥事件，也是对立事件，、均不是互斥事件，是互斥事件，但不是对立事件. 故选：D 23．抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件“至多有一枚硬币正面朝上”，事件“两枚硬币正面均朝上”，事件“两枚硬币正面均朝下”，则（    ） A．A与C对立 B．B与C不互斥 C．A与B对立 D．B与C对立 【答案】C 【分析】详解】抛掷两枚质地均匀的硬币，其中朝上的情况共有{正反，正正，反正，反反}共4种情况， 其中事件{正反，反正，反反}；事件{正正}，事件{反反}， 对A，事件A为事件C可能同时发生，即反反这种情况，即事件A，C不对立，故A错误； 对B，事件B与事件C显然不可能同时发生，则它们为互斥事件，故B错误； 对C，显然事件A和事件B不可能同时发生，即它们互斥，且两者构成了所有的发生情况，即事件A和事件B必有一个发生，则A与B对立，故C正确； 对D，事件B与C互斥，但是不对立，比如可能发生正反或反正的情况，故D错误. 故选：C. 24．为了推广一种新饮料，某饮料生产企业开展了有奖促销活动：将8瓶该种饮料装一箱，其中有2瓶能够中奖，现从一箱该饮料中随机抽取2瓶，则下列两个事件是互斥但不对立的是（    ） A．至少1瓶中奖”与“2瓶都中奖” B．“至多1瓶中奖”与“2瓶都中奖” C．“恰有1瓶中奖”与“2瓶都不中奖” D．“恰有1瓶中奖”与“至多1瓶中奖” 【答案】C 【分析】详解】对于A，“至少1瓶中奖”与“2瓶都中奖”可以同时发生，则“至少1瓶中奖”与“2瓶都中奖”不是互斥事件，所以A错误， 对于B，“至多1瓶中奖”与“2瓶都中奖”是对立事件，所以B错误， 对于C，“恰有1瓶中奖”与“2瓶都不中奖”是互斥但不对立事件，所以C正确， 对于D，“恰有1瓶中奖”与“至多1瓶中奖”可以同时发生，则“恰有1瓶中奖”与“至多1瓶中奖”不是互斥事件，所以D错误. 故选：C 25．（多选）一个袋子中有大小和质地相同的个小球，其中有个红球和个白球．从袋中不放回地依次随机摸出个小球（每次取个小球），记事件“两次都摸到红球”，事件“两次都摸到白球”，事件“两次摸到的小球颜色不同”，事件“两次摸到的小球颜色相同”，事件“至多摸到一个红球”．则下列事件互为互斥且不对立事件的是（     ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】AC 【详解】对A，事件与不可能同时发生，但是事件发生时，事件与就都不会发生，故事件与互斥且不对立.故A正确； 对B，事件发生时，事件也同时发生，故事件与不互斥.故B错误； 对C，事件与不可能同时发生，但事件发生时，事件与都不会发生，故事件与互斥且不对立.故C正确； 对D，事件与互斥且对立.故D错误. 26．（多选）从装有个红球和个白球的盒子中任取两个球，下列情况是互斥且对立的两个事件的是（    ） A．至少一个红球；都是白球 B．恰有一个红球；恰有一个白球 C．至少有一个红球；至多有一个白球 D．至多一个红球；都是红球 【答案】AD 【分析】详解】对于A：“至少一个红球”包含一红一白、两个红球，“都是白球”对应两个白球， 二者不能同时发生，且并集为全部样本空间，是互斥且对立事件，故A正确； 对于B：“恰有一个红球”和“恰有一个白球”都对应一红一白，是同一事件，可同时发生，不互斥，故B错误； 对于C：“至少一个红球”包含一红一白、两个红球，“至多一个白球”即白球数小于等于，也包含一红一白、两个红球， 二者是同一事件，可同时发生，不互斥，故C错误； 对于D：“至多一个红球”即红球数小于等于，包含一红一白、两个白球，“都是红球”对应两个红球， 二者不能同时发生，且并集为全部样本空间，是互斥且对立事件，故D正确. 27．（多选）某学校为了丰富同学们的课外活动，为同学们举办了四种科普活动：科技展览、科普讲座、科技游艺、科技绘画．记事件：只参加科技游艺活动；事件：至少参加两种科普活动；事件：只参加一种科普活动；事件：一种科普活动都不参加；事件：至多参加一种科普活动，则下列说法正确的是（    ） A．与是互斥事件 B．与是对立事件 C． D． 【答案】ABC 【分析】详解】对A：互斥事件表示两事件的交集为空集.事件：只参加科技游艺活动， 与事件：一种科普活动都不参加，二者不可能同时发生，交集为空集，故A正确； 对B：对立事件表示两事件互斥且必定有一个发生. 事件和事件满足两个特点，故B正确； 对C：表示：至多参加一种科普活动，即为事件，故C正确； 对D：表示：只参加一种科普活动，但不一定是科技游艺活动，故D错误. 故选：ABC 题型06 利用互斥事件与对立事件计算概率 28．若随机事件，满足，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】详解】因为， 所以, 又因为， 即, 所以, 解得 29．已知事件A，B满足，，事件A，B中至少有一个不发生的概率为，则事件A，B都不发生的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】详解】， ， ， . 30．（多选）为响应校团委发起的“青年大学习”号召，某班组织了有奖知识竞答活动.决赛准备了4道选择题和2道填空题，每位参赛者从6道题中不放回地随机抽取三次，每次抽取1道题作答.设事件为“第次抽到选择题”，则下列结论中正确的是（    ） A．与互斥；与互斥 B．不管第几次抽取，抽到选择题的概率都相同 C． D． 【答案】BC 【分析】详解】由题意可知第1次抽到选择题与第2次抽到选择题可能同时发生， 所以与不是互斥事件，同理与也不是互斥事件，A说法错误； 从6道题中不放回地随机抽取三次，满足简单随机抽样，每次抽取时各个个体被抽到的概率相等，B说法正确； 第二次抽到选择题且第三次也抽到选择题的概率,C说法正确； 第1次抽到选择题或第2次抽到选择题的概率,D说法错误； 故选：BC 31．袋中有2个红球、5个白球，现随机不放回地逐个摸出．设为“首次出现某一种颜色的球被全部摸出”时所需的摸球次数，则的概率为_____________． 【答案】 【分析】详解】由题意得表示第3次摸球时，首次出现某一颜色的球全摸出， 袋中有2个红球、5个白球，则白球不可能3次内全摸出， 仅可能2个红球在第3次被全摸完，且第3次摸到的是第2个红球， 故满足的摸球序列有两类： ①红、白、红：概率为， ②白、红、红：概率为， 故． 32．澄海素有“中国民间灯谜艺术之乡”的美誉，每逢元宵佳节各乡祠都会设谜台击鼓开猜，传承国家级非遗澄海灯谜．甲、乙两人组成“红头船队”参加村居灯谜擂台赛，擂台赛由甲、乙各猜射一道灯谜．已知甲猜中灯谜的概率为，乙猜中灯谜的概率为．两人猜中与否互不影响．则“红头船队”在擂台竞猜中至少猜中1道灯谜的概率为__________． 【答案】 【分析】详解】设：甲猜中灯谜为事件，乙猜中灯谜为事件， 则至少猜中1道灯谜的概率. 33．某站台经过统计发现，一号列车准点到站的概率为，二号列车准点到站的概率为，一号列车准点到站或者二号列车不准点到站的概率为，记“一号列车准点到站且二号列车不准点到站”为事件，“一号列车不准点到站且二号列车准点到站”为事件，则______. 【答案】 【详解】记“一号列车准点到站”为事件，“二号列车准点到站”为事件， 则，，， 由，故， 则，则， 故， 而，即，故， 则. 故答案为： 34．抛掷一蓝、一黄两枚质地均匀且六个面分别标有数字1，2，3，4，5，6的骰子. (1)用适当的方法表示上述随机试验的样本空间，并求两枚骰子点数之积不等于12的概率； (2)记：“两枚骰子点数之和能被3整除”，“蓝色骰子点数大于黄色骰子点数”，求，. 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）记蓝色骰子点数为，黄色骰子点数为，一个样本点为样本空间如下： （也可以用列举法），共有36个样本点. 设“两枚骰子点数之积为”，则“两枚骰子点数之积不为”， ，包含了个样本点， 根据古典概型，得：， 所以. （2），共包含个基本事件， ， 共包含个基本事件，，共包含个基本事件， 根据古典概型，， . 重难·创新演练 设题创新:依托电路、生物繁衍等真实情境命题，跳出简单套公式计算，融合概率为 1 未必是必然、概率为0未必是不可能的易错概念，结合事件关系抽象辨析，侧重考查概念深挖、阅读理解与逻辑推理的综合解题能力。 1．（2025·河南驻马店·三模）（多选）已知为实验的样本空间，随机事件，则（    ） A．为必然事件，且 B．为不可能事件，且 C．若，则为必然事件 D．若，则不一定为不可能事件 【答案】ABD 【分析】详解】A.当为必然事件，且，故A正确； B. 为不可能事件，且，故B正确； C. 若，则不一定为必然事件，若样本空间是区间，但质点落在区间的概率也是1，此时不是必然事件，故C错误； D. 若，则不一定为不可能事件，若样本空间是区间，但质点落在处的概率为0，但此时不是不可能事件，故D正确. 故选：ABD 2．（2025·广东中山·一模）【新考法】（多选）如图，一个电路中有四个电器元件，每个元件可能正常，也可能失效．记“电路是通路”，“电路是断路”，“至少三个元件正常”，“恰有三个元件正常”，则（    ） A．与互斥，但不对立 B．与互斥，但不对立 C． D． 【答案】BC 【分析】详解】选项A：电路不可能同时通路和断路，故，互斥成立； 全集是所有元件状态组合，覆盖了通路和断路所有情况，故是对立事件，故A错误； 选项B：表示至多两个元件正常，表示恰有三个元件正常， ，互斥成立，仅覆盖正常数，未包含 “四个元件都正常”，故不对立，故B正确； 选项C：恰有三个元件正常时，必有一个元件失效，由电路图可知： 任意三个元件正常时，电路均保持通路，即必然发生， ，故C正确； 选项D：“电路是断路”， 表示至多两个元件正常， 若正常，失效，此时正常元件数为2，但电路为通路， 故发生时不一定发生，故D错误． 故选：BC． 3．（2025·江西萍乡·二模）（多选）林下调研区划分出8块独立的菌菇监测样地，编号为1，2，3，4，5，6，7，8．调研人员先后两次有放回地选取样地开展观测，则下列与“两次选中的样地编号之和为9”是互斥事件的是（     ） A．两次选中的样地编号相等 B．两次选中的样地编号之积为偶数 C．两次选中的样地编号之和为8 D．第一次选中的样地编号大于第二次选中的样地编号 【答案】AC 【分析】详解】A：事件为“两次选中的样地编号相等”，样本点为，其编号和为是偶数， 而9是奇数，两事件不可能同时发生，是互斥事件，A正确； B：事件为“两次选中的样地编号之积为偶数”，中的样本点如满足积为8是偶数， 两事件存在公共样本点，不是互斥事件，B错误； C：事件为“两次选中的样地编号之和为8”，两次编号和不可能同时为8和9， 两事件没有公共样本点，是互斥事件，C正确； D：事件为“第一次选中的样地编号大于第二次选中的样地编号”，中的样本点如满足第一次编号大于第二次，两事件存在公共样本点，不是互斥事件，D错误. 4．（2025·广西贺州·模拟预测）盒子中有2个红球，5个黑球，每次随机地从中取出一个球，观察其颜色后放回，并放入3个同色球，则前三次取出球的颜色不完全相同的概率为________． 【答案】 【详解】由"前三次取出球的颜色不完全相同"的对立事件是"三次取出的球全为红球或全为黑球"，因此（不完全相同）（三次全红）（三次全黑）； 每次取球后增加3个同色球，总球数逐次加3个， 所以（三次全红） ， （三次全黑）， 则所求概率为：. 5．（2025·福建漳州·二模）设A，B是一个随机试验中的两个事件，记为事件A，B的对立事件，且，则=__________ 【答案】0.3/ 【分析】详解】由题意得，为互斥事件， 即， ， 又①，②， 式子①②相加得， 故， 所以，则. 故答案为：0.3 【点睛】若事件A，B互斥，则有， 若事件A，B不互斥，则有. 6．（2025·广西来宾·一模）据浙江省新高考规则，每名同学在高一学期结束后，需要从七门选考科目中选择其中三门作为高考选考科目.某同学已经选择了物理、化学两门学科，还需要从生物、技术这两门理科学科和政治、历史、地理这三门文科学科共五门学科中再选择一门，设事件“选择生物学科”，“选择一门理科学科”，“选择政治学科”，“选择一门文科学科”，现给出以下四个结论： ①和是互斥事件但不是对立事件；     ②和是互斥事件也是对立事件； ③；     ④. 其中，正确结论的序号是______.（请把你认为正确结论的序号都写上） 【答案】②④ 【分析】详解】事件“选择一门文科学科”，包含“选择政治学科”，“选择历史学科”，“选择地理学科” 所以事件“选择政治学科”，包含于事件，故事件可以同时发生，不是互斥事件，故①不正确； 事件“选择一门理科学科”，与事件    “选择一门文科学科”，不能同时发生，且必有一个事件发生，故和是互斥事件也是对立事件，故②正确； 由题意可知，所以，故③不正确； 事件“选择生物学科”，与事件“选择一门文科学科”，不能同时发生，故和是互斥事件，所以，故④正确. 故答案为：②④. 7．（2025·陕西西安·一模）【新考法】有一种珍惜物种，对于其每个个体，每天都会发生如下事件：有的概率消失，有的概率保持不变，有的概率分裂成两个，对所有新产生的生物每天也会发生上述事件，假设开始只有一个这样的珍惜生物，若希望最终这种生物灭绝的概率不超过，则的最大值为______． 【答案】/ 【分析】详解】设开始有一个珍稀生物、最终灭绝的概率为， 那么若开始有个珍稀生物、最终灭绝的概率则为， 由题意知， 从而可得，即， 因为，所以，所以。 解之可得，故的最大值为. 故答案为： 真题·实战演练 高频考点：随机事件与样本空间、事件的交并运算、频率与概率、互斥与对立事件判定、利用事件性质求概率；近三年以选择填空为主，侧重基础+中档综合，突出概念辨析、情境建模、逻辑判断三大热点。 1．（2022·全国甲卷·高考真题）从分别写有1，2，3，4，5，6的6张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】[方法一]：【最优解】无序 从6张卡片中无放回抽取2张，共有15种情况，其中数字之积为4的倍数的有6种情况，故概率为. [方法二]：有序 从6张卡片中无放回抽取2张，共有,(2,1),(3,1),(4,1),(5,1),(6,1),(3,2),(4,2),(5,2),(6,2),(4,3),(5,3),(6,3),(5,4),(6,4),(6,5)30种情况， 其中数字之积为4的倍数有(1,4),(2,4),(2,6),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,5),(4,6),(5,4),(6,2),(6,4)12种情况，故概率为. 故选：C. 【整体点评】方法一：将抽出的卡片看成一个组合，再利用古典概型的概率公式解出，是该题的最优解； 方法二：将抽出的卡片看成一个排列，再利用古典概型的概率公式解出； 2．（2022·全国乙卷·高考真题）从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为____________． 【答案】/0.3 【详解】解法一：设这5名同学分别为甲，乙，1,2,3，从5名同学中随机选3名， 有：(甲，乙，1)，(甲，乙，2)，(甲，乙，3)，(甲，1，2)，(甲，1，3)，(甲，2，3)，(乙，1，2)，(乙，1，3)，(乙，2，3)，(1，2，3)，共10种选法； 其中，甲、乙都入选的选法有3种，故所求概率. 故答案为：. 解法二：从5名同学中随机选3名的方法数为 甲、乙都入选的方法数为，所以甲、乙都入选的概率 故答案为： 19 / 21 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第04讲 随机事件、频率与概率 目 录 模拟·基础演练 2 题型01 随机事件与样本空间 2 题型02 随机事件之间的关系与运算 2 题型03 频率估计概率 3 题型04 随机事件的概率 4 题型05 互斥事件与对立事件的判断 5 题型06 利用互斥事件与对立事件计算概率 6 重难·创新演练 7 真题·实战演练 8 模拟·基础演练 考查重点：随机事件与样本空间识别、事件间交并运算、频率估计概率、随机事件概率求解，互斥与对立事件的辨析判定，借助互斥、对立事件性质计算概率，覆盖概率入门核心基础考点，侧重概念理解辨析与基础概率运算。 题型01 随机事件与样本空间 1．下列关于事件的概率的说法不正确的是（   ） A．从全是黑球的袋中取出红球的概率是0 B．从全是黑球的袋中取出黑球的概率是1 C．太阳从西方升起的概率是0 D．明天是晴天的概率是1 2．做投掷一颗骰子的试验，观察骰子出现的点数，则事件“出现奇数点”用集合表示为（     ） A． B． C． D． 3．在抽查作业的试验中，下列各组事件都是基本事件的是（    ） A．抽到第一组与抽到第二组 B．抽到第一组与抽到男学生 C．抽到女学生与抽到班干部 D．抽到班干部与抽到学习标兵 4．先后抛均匀的五角、一元硬币各一枚，观察落地后硬币的正反面情况，则下列事件包含3个样本点的是（　 　） A．“至少一枚硬币正面向上” B．“只有一枚硬币正面向上” C．“两枚硬币都是正面向上” D．“两枚硬币都是反面向上” 5．（多选）给出下列四个命题，其中正确的命题有（    ） A．“三个球全部放入两个盒子，其中必有一个盒子有一个以上的球”是必然事件 B．“当x为某一实数时可使”是不可能事件 C．“明天竹山要下雨”是必然事件 D．“从含有5个次品的100个灯泡中取出5个，5个都是次品”是随机事件. 题型02 随机事件之间的关系与运算 6．抛掷3枚质地均匀的硬币，记事件{至少1枚正面朝上}，{至多2枚正面朝上}，事件{没有硬币正面朝上}，则下列正确的是（    ） A． B． C． D． 7．抛掷一枚质地均匀的骰子，事件“向上的点数为1”，事件“向上的点数为5”，事件“向上的点数为1或5”，则有（    ） A． B． C． D． 8．事件和事件为独立随机事件，事件表示为事件和至少一个发生，则（   ） A． B． C． D． 9．如图，一个电路中有，，三个电器元件，事件“元件工作正常”，事件“元件工作正常”，事件“元件工作正常”，则下列事件：①；②；③；④；⑤；⑥.表示事件“电路一定是断路”的个数为（    ）    A．1 B．2 C．3 D．4 10．（多选）一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红色球（标号为1和2），2个绿色球（标号为3和4），从袋中不放回地依次随机摸出2个球，每次摸出一个球，设事件“第一次摸到红球”，“两次都摸到红球”，“两次都摸到绿球”，“两球颜色相同”，“两球颜色不同”，则（    ） A． B． C． D． 题型03 频率估计概率 11．已知某种设备在一年内需要维修的概率为0.2．用计算器进行模拟实验产生1~5之间的整数随机数，当出现随机数1时，表示一年内需要维修，由于有2台这样的设备，所以每2个随机数为一组，代表两台设备一年内需要维修的情况，现产生20组随机数如下： 41  45  31  53  22  34  15  25  42  14  43  41  13  43  12  23  31  23  35  44 据此估计一年内这2台设备都不需要维修的概率为（     ） A．0.4 B．0.6 C．0.64 D．0.8 12．一个不透明的袋子里装有红、白两种小球总计20个，除颜色外其余完全相同，有放回地随机摸取100次球，发现有61次是红球，则估计袋子内红球的个数约为（   ） A．6 B．8 C．12 D．14 13．青城山是著名的旅游胜地．天气预报中秋节连续三天，每天下雨的概率为0.5，现用随机模拟的方法估计三天中至少有两天下雨的概率：先由计算器产生0到9之间的整数值的随机数，指定0，1，2，3，4表示当天下雨，5，6，7，8，9表示当天不下雨，每3个随机数为一组，代表三天是否下雨的结果，经随机模拟产生了20组随机数： 926  446  072  021  392  077  663  817  325  615 405  858  776  631  700  259  305  311  589  258 据此估计三天中至少有两天下雨的概率约为________． 14．长时间玩手机可能影响视力，据调查，某校学生大约30%的人近视，而该校大约有40%的学生每天玩手机超过，这些人的近视率约为60%．现从每天玩手机不超过的学生中任意调查一名学生，则他近视的概率为___________． 15．商场在一周内共卖出某种品牌的皮鞋双，商场经理为考察其中各种尺码皮鞋的销售情况，以这周内某天售出的双皮鞋的尺码为一个样本，分为组，已知第组的频率为，第，，组的频数分别为，，，若第组表示的是尺码为的皮鞋，则售出的这双皮鞋中尺码为的皮鞋约为______双． 题型04 随机事件的概率 16．一个笔盒中装有6支笔，其中3支黑色，2支红色，1支蓝色．若从中任取2支，则“恰有1支黑色”的概率是（    ） A． B． C． D． 17．某冷饮店有“桃喜芒芒”“草莓啵啵”“蜜桃四季春”“芋圆葡萄”四种饮品可供选择，现有四位同学到店每人购买一杯饮品，则恰有两种饮品没人购买的概率为（    ） A． B． C． D． 18．甲、乙、丙、丁4人各自写了1张贺卡，将这4张贺卡随机分给这4人，每人分得1张，则至多有1人得到自己写的贺卡的概率为（   ） A． B． C． D． 19．生活中人们常用“通五经贯六艺”形容一个人才识技艺过人，这里的“六艺”其实源于中国周朝的贵族教育体系，具体包括“礼、乐、射、御、书、数”.为弘扬中国传统文化，某校在周末学生业余兴趣活动中开展了“六艺”知识讲座，每艺安排一节，连排六节，则满足“数”必须排在前两节，“礼”和“乐”必须相邻安排的概率为______ 20．一个盒子中有个白球（计分），个相同的红球（计分）和个不同的彩球（计分），小阳每次从盒中随机摸出个球，要求摸完不放回盒中，则次均摸到红球的概率是______，若得分时即停止摸球，则所有可能的摸球方式共有______种．（用数字作答） 21．已知集合，在M中可重复地依次取出三个数a，b，c，则“以a，b，c为边长恰好构成三角形”的概率是________． 题型05 互斥事件与对立事件的判断 22．抛掷一枚骰子，记事件A为“落地时向上的点数是奇数”，事件B为“落地时向上的点数是偶数”，事件C为“落地时向上的点数是3的倍数”， 事件D为“落地时向上的点数是6或4”，则下列每对事件是互斥事件但不是对立事件的是（    ） A．A与B B．A与C C．B与C D．A与D 23．抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件“至多有一枚硬币正面朝上”，事件“两枚硬币正面均朝上”，事件“两枚硬币正面均朝下”，则（    ） A．A与C对立 B．B与C不互斥 C．A与B对立 D．B与C对立 24．为了推广一种新饮料，某饮料生产企业开展了有奖促销活动：将8瓶该种饮料装一箱，其中有2瓶能够中奖，现从一箱该饮料中随机抽取2瓶，则下列两个事件是互斥但不对立的是（    ） A．至少1瓶中奖”与“2瓶都中奖” B．“至多1瓶中奖”与“2瓶都中奖” C．“恰有1瓶中奖”与“2瓶都不中奖” D．“恰有1瓶中奖”与“至多1瓶中奖” 25．（多选）一个袋子中有大小和质地相同的个小球，其中有个红球和个白球．从袋中不放回地依次随机摸出个小球（每次取个小球），记事件“两次都摸到红球”，事件“两次都摸到白球”，事件“两次摸到的小球颜色不同”，事件“两次摸到的小球颜色相同”，事件“至多摸到一个红球”．则下列事件互为互斥且不对立事件的是（     ） A．与 B．与 C．与 D．与 26．（多选）从装有个红球和个白球的盒子中任取两个球，下列情况是互斥且对立的两个事件的是（    ） A．至少一个红球；都是白球 B．恰有一个红球；恰有一个白球 C．至少有一个红球；至多有一个白球 D．至多一个红球；都是红球 27．（多选）某学校为了丰富同学们的课外活动，为同学们举办了四种科普活动：科技展览、科普讲座、科技游艺、科技绘画．记事件：只参加科技游艺活动；事件：至少参加两种科普活动；事件：只参加一种科普活动；事件：一种科普活动都不参加；事件：至多参加一种科普活动，则下列说法正确的是（    ） A．与是互斥事件 B．与是对立事件 C． D． 题型06 利用互斥事件与对立事件计算概率 28．若随机事件，满足，，则（   ） A． B． C． D． 29．已知事件A，B满足，，事件A，B中至少有一个不发生的概率为，则事件A，B都不发生的概率为（    ） A． B． C． D． 30．（多选）为响应校团委发起的“青年大学习”号召，某班组织了有奖知识竞答活动.决赛准备了4道选择题和2道填空题，每位参赛者从6道题中不放回地随机抽取三次，每次抽取1道题作答.设事件为“第次抽到选择题”，则下列结论中正确的是（    ） A．与互斥；与互斥 B．不管第几次抽取，抽到选择题的概率都相同 C． D． 31．袋中有2个红球、5个白球，现随机不放回地逐个摸出．设为“首次出现某一种颜色的球被全部摸出”时所需的摸球次数，则的概率为_____________． 32．澄海素有“中国民间灯谜艺术之乡”的美誉，每逢元宵佳节各乡祠都会设谜台击鼓开猜，传承国家级非遗澄海灯谜．甲、乙两人组成“红头船队”参加村居灯谜擂台赛，擂台赛由甲、乙各猜射一道灯谜．已知甲猜中灯谜的概率为，乙猜中灯谜的概率为．两人猜中与否互不影响．则“红头船队”在擂台竞猜中至少猜中1道灯谜的概率为__________． 33．某站台经过统计发现，一号列车准点到站的概率为，二号列车准点到站的概率为，一号列车准点到站或者二号列车不准点到站的概率为，记“一号列车准点到站且二号列车不准点到站”为事件，“一号列车不准点到站且二号列车准点到站”为事件，则______. 34．抛掷一蓝、一黄两枚质地均匀且六个面分别标有数字1，2，3，4，5，6的骰子. (1)用适当的方法表示上述随机试验的样本空间，并求两枚骰子点数之积不等于12的概率； (2)记：“两枚骰子点数之和能被3整除”，“蓝色骰子点数大于黄色骰子点数”，求，. 重难·创新演练 设题创新:依托电路、生物繁衍等真实情境命题，跳出简单套公式计算，融合概率为 1 未必是必然、概率为0未必是不可能的易错概念，结合事件关系抽象辨析，侧重考查概念深挖、阅读理解与逻辑推理的综合解题能力。 1．（2025·河南驻马店·三模）（多选）已知为实验的样本空间，随机事件，则（    ） A．为必然事件，且 B．为不可能事件，且 C．若，则为必然事件 D．若，则不一定为不可能事件 2．（2025·广东中山·一模）【新考法】（多选）如图，一个电路中有四个电器元件，每个元件可能正常，也可能失效．记“电路是通路”，“电路是断路”，“至少三个元件正常”，“恰有三个元件正常”，则（    ） A．与互斥，但不对立 B．与互斥，但不对立 C． D． 3．（2025·江西萍乡·二模）（多选）林下调研区划分出8块独立的菌菇监测样地，编号为1，2，3，4，5，6，7，8．调研人员先后两次有放回地选取样地开展观测，则下列与“两次选中的样地编号之和为9”是互斥事件的是（     ） A．两次选中的样地编号相等 B．两次选中的样地编号之积为偶数 C．两次选中的样地编号之和为8 D．第一次选中的样地编号大于第二次选中的样地编号 4．（2025·广西贺州·模拟预测）盒子中有2个红球，5个黑球，每次随机地从中取出一个球，观察其颜色后放回，并放入3个同色球，则前三次取出球的颜色不完全相同的概率为________． 5．（2025·福建漳州·二模）设A，B是一个随机试验中的两个事件，记为事件A，B的对立事件，且，则=__________ 6．（2025·广西来宾·一模）据浙江省新高考规则，每名同学在高一学期结束后，需要从七门选考科目中选择其中三门作为高考选考科目.某同学已经选择了物理、化学两门学科，还需要从生物、技术这两门理科学科和政治、历史、地理这三门文科学科共五门学科中再选择一门，设事件“选择生物学科”，“选择一门理科学科”，“选择政治学科”，“选择一门文科学科”，现给出以下四个结论： ①和是互斥事件但不是对立事件；     ②和是互斥事件也是对立事件； ③；     ④. 其中，正确结论的序号是______.（请把你认为正确结论的序号都写上） 7．（2025·陕西西安·一模）【新考法】有一种珍惜物种，对于其每个个体，每天都会发生如下事件：有的概率消失，有的概率保持不变，有的概率分裂成两个，对所有新产生的生物每天也会发生上述事件，假设开始只有一个这样的珍惜生物，若希望最终这种生物灭绝的概率不超过，则的最大值为______． 真题·实战演练 高频考点：随机事件与样本空间、事件的交并运算、频率与概率、互斥与对立事件判定、利用事件性质求概率；近三年以选择填空为主，侧重基础+中档综合，突出概念辨析、情境建模、逻辑判断三大热点。 1．（2022·全国甲卷·高考真题）从分别写有1，2，3，4，5，6的6张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率为（    ） A． B． C． D． 2．（2022·全国乙卷·高考真题）从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为____________． 19 / 21 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $