专题跟踪检测22 圆锥曲线中的定点、定值与存在性问题（Word练习）-【创新方案】2024年高考数学二轮复习专题辅导与测试（新教材）

专题跟踪检测（二十二） 圆锥曲线中的定点、定值与存在性问题 1．(2023·孝感模拟)已知抛物线y2＝9x上一动点G，过点G作x轴的垂线，垂足为D，M是GD上一点，且满足＝. (1)求动点M的轨迹C的方程； (2)若P(x0,4)为曲线C上一定点，过点P作两条直线分别与抛物线交于A，B两点，若满足kPA＋kPB＝2，求证：直线AB恒过定点，并求出定点坐标． 解：(1)设M(x，y)，G(x′，y′)，则D(x′，0)， 由＝，得代入y2＝9x得y2＝4x， 所以动点M的轨迹C：y2＝4x. (2)证明：易得P(4,4)，PA，PB的斜率存在，设AB：x＝my＋t，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由联立可得y2－4my－4t＝0， 则Δ＝16m2＋16t＞0，y1＋y2＝4m，y1y2＝－4t　①， 又kPA＋kPB＝2，则＋＝＋＝＝2　②. 将①代入②得，＝2，所以t＝2m， 所以x＝my＋2m＝m(y＋2)． 所以直线恒过定点(0，－2)． 2．(2023·南通模拟)已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)三个点在椭圆＋y2＝1上，椭圆外一点P满足＝2，＝2(O为坐标原点)． (1)求x1x2＋2y1y2的值； (2)证明：直线AC与OB斜率之积为定值． 解：(1)设P(x，y)，因为＝2， 所以(x，y)＝2(－x1，－y1)，解得 又因为＝2， 所以(－2x1－x2，－2y1－y2)＝2(－2x1－x3，－2y1－y3)，解得 因为点C在椭圆上，所以＋2＝1⇒＋y＋－x1x2－y1y2＝1，即x1x2＋2y1y2＝. (2)证明：设直线AC与OB斜率分别为kAC，kOB， kACkOB＝×＝×＝＝＝＝－是定值． 3．(2023·黄冈中学二模)如图，已知双曲线E：－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线与x轴夹角为，点(1,0)在E上，过G(4,0)的两条直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，且k1·k2＝3，l1交E于A，B，l2交E于C，D，线段AB与CD的中点分别为M，N，GH⊥MN. (1)求双曲线E的方程； (2)求证：存在点K，使HK为定值． 解：(1)依题意a＝1，＝，则b＝，∴E的方程为x2－＝1. (2)证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的方程为y＝k1(x－4)，C(x3，y3)，D(x4，y4)，CD的方程为y＝k2(x－4)，联立得(k－3)x2－8kx＋16k＋3＝0，则Δ＝4(45k＋9)>0，且k－3≠0，∴x1＋x2＝. 从而y1＋y2＝k1(x1＋x2－8)＝， ∴M，同理可得N. ∵k1k2＝3，∴k2＝，则N. ∴MN的斜率kMN＝＝＝. 直线MN的方程为y－＝，即y＝(x－2)．∴直线MN恒过定点T(2,0)． 又∵∠THG＝90°，∴H的轨迹为以TG为直径的圆．取TG的中点K(3,0)， 则|HK|＝|TK|＝|KG|＝|TG|＝1. 故存在定点K(3,0)使|HK|为定值． 4．已知曲线E：＋＝1，直线l：y＝x＋m与曲线E交于y轴右侧不同的两点A，B． (1)求m的取值范围； (2)已知点P的坐标为(2,1)，试问：△APB的内心是否恒在一条定直线上？若是，请求出该直线方程；若不是，请说明理由． 解：(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 联立方程消去y得3x2＋4mx＋2m2－6＝0， 由题意可得 解得－3<m<－，故m的取值范围为(－3，－)． (2)内心恒在一条定直线上，该直线为x＝2， ∵＋＝1，故点P(2,1)在椭圆上． 若直线l：y＝x＋m过点(2，－1)，则2＋m＝－1，解得m＝－3∉(－3，－)， 即直线l：y＝x＋m不过点(2，－1)， 故直线AP，BP的斜率存在， 由(1)可得A(x1，y1)，B(x2，y2)， x1＋x2＝－m，x1x2＝. 设直线AP，BP的斜率分别为k1，k2， 则k1＝，k2＝. ∴k1＋k2＝＋ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝＝0， 即k1＋k2＝0，则∠APB的角平分线为x＝2. 故△APB的内心恒在直线x＝2上． 4 学科网（北京）股份有限公司 $$