专题跟踪检测21 圆锥曲线中的求值及证明问题（Word练习）-【创新方案】2024年高考数学二轮复习专题辅导与测试（新教材）

专题跟踪检测（二十一） 圆锥曲线中的求值及证明问题 1．(2023·承德模拟)已知椭圆C1：＋＝1(a>b>0)与椭圆C2：＋y2＝1有相同的离心率，且椭圆C1过点(－2，0)． (1)求椭圆C1的方程； (2)若直线x－y－1＝0与椭圆C1交于A，B两点，求线段AB的垂直平分线的方程． 解：(1)由题意得a＝2，椭圆C2：＋y2＝1的离心率为，∴＝. ∴c＝3，∴b＝ ＝. ∴椭圆C1的方程为＋＝1. (2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由得5x2－8x－8＝0， ∴x1＋x2＝. 设AB的中点为M(x0，y0)， 则x0＝＝，∴y0＝x0－1＝－. 又kAB＝1，∴线段AB的垂直平分线方程为y＋＝－，即x＋y－＝0. 2．已知抛物线Ω：y2＝2px(p>0)的焦点为F.过焦点F的直线l：x＝my＋与抛物线Ω交于A，B，|AB|的最小值为12. (1)求抛物线的方程； (2)若过点F的另一直线与曲线Ω相交于C，D两点，E(8,0)，kAB＋kCD＝0，且△ABE与△CDE的面积的和为30，求直线l的斜率． 解：(1)依题意抛物线Ω的焦点为F， 则|AB|min＝12时，直线l与x轴垂直， 不妨取A，则36＝2p×， 因为p>0，所以p＝6， 所以抛物线的方程为y2＝12x. (2)因为抛物线Ω的方程为y2＝12x， 所以F(3,0)，则直线l的方程为x＝my＋3. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 联立消去x得y2－12my－36＝0， y1＋y2＝12m，y1y2＝－36， 所以|AB|＝x1＋x2＋p＝12m2＋12. 因为点C，D在曲线Ω上，且kAB＋kCD＝0， 所以根据抛物线的对称性知S△ABE＝S△CDE. 因为E(8,0)， 所以点E到直线AB的距离d＝. 所以S△ABE＝|AB|·d＝. 因为S△ABE＋S△CDE＝30，所以S△ABE＝15， 所以＝15，解得m＝±. 所以直线l的斜率为2或－2. 3．(2023·荆门模拟)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，直线l：x＝1，l与x轴交于点H，l与双曲线C的一条渐近线交于点T，且＋3＝0，·＝－2. (1)求双曲线C的方程； (2)设过点H与x轴不重合的直线交双曲线C于A，B两点，直线AF2，BF2分别交l于点M，N，求证：|HM|＝|HN|. 解：(1)设双曲线C的焦距为2c，其中c2＝a2＋b2，则F1(－c,0)，F2(c,0)，H(1,0)， 所以＝(－c－1,0)，＝(c－1,0)，由＋3＝0，有－c－1＋3(c－1)＝0，得c＝2， 所以F1(－2,0)，F2(2,0)． 因为双曲线C的渐近线方程为y＝x，有T，所以＝，＝. 由·＝－2，得－3＋＝－2，即－3＋＝－2，得a2＝2，所以b2＝c2－a2＝2. 所以C的方程为－＝1. (2)证明：设AB的方程为y＝k(x－1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 联立方程组得(1－k2)·x2＋2k2x－k2－2＝0， 所以1－k2≠0，Δ＝4k4－4(1－k2)(－k2－2)>0， x1＋x2＝，x1x2＝. 所以kAF2＋kBF2＝＋＝＋＝k·＝＝0. 所以kBF2＝－kAF2，即∠MF2H＝∠NF2H. 即HF2平分∠MF2N， 因为MN⊥HF2，所以点H为MN的中点．所以|HM|＝|HN|. 4．已知定圆F：(x－1)2＋y2＝16，动圆H过点E(－1,0)且与圆F相切，记圆心H的轨迹为C． (1)求曲线C的方程． (2)已知A(－2,0)，B(2,0)，点M是曲线C上异于A，B的任意一点，设直线AM与直线l：x＝4交于点N，求证：∠MFB＝2∠NFB． 解：(1)由圆F：(x－1)2＋y2＝16可得圆心F(1,0)，半径r＝4, ∵点E(－1,0)在圆F内，∴圆H内切于圆F， ∴|HE|＋|HF|＝4>|EF|＝2 . ∴点H的轨迹C为椭圆．设其方程为＋＝1(a>b>0)，则2a＝4，c＝1，∴b＝＝. ∴轨迹C的方程为＋＝1. (2)证明：设M(x0，y0)，且在x轴的上方时， 若MF⊥AB，不妨取M，满足曲线C的方程＋＝1，则AM的方程为y＝(x＋2)，则N(4,3)，此时∠NFB＝45°. 又∠MFB＝90°，故∠MFB＝2∠NFB； 若MF不垂直于AB，设∠NFB＝θ，∠MFB＝α， 则由M(x0，y0)，F(1,0)得kMF＝tan α＝. 又直线AM的方程为y＝(x＋2)， 联立x＝4可得N， 故kNF＝＝＝tan θ， 则tan 2θ＝＝＝. 又3x＋4y＝12， 则tan 2θ＝ ＝＝＝tan α. 又θ∈，α∈(0，π)， 故2θ＝α即∠MFB＝2∠NFB； 当点M在x轴的下方时，根据对称性，显然也满足∠MFB＝2