专题跟踪检测20 圆锥曲线中二级结论的应用（Word练习）-【创新方案】2024年高考数学二轮复习专题辅导与测试（新教材）

专题跟踪检测（二十） 圆锥曲线中二级结论的应用 1．过双曲线C：－＝1(a>0，b>0)上一点P作双曲线C的切线l，若直线OP与直线l的斜率均存在，且斜率之积为，则双曲线C的离心率为(　 ) A． B． C． D． 解析：选C　设P(x0，y0)，由于双曲线C在点P(x0，y0)处的切线方程为－＝1，故切线l的斜率k＝.因为k·kOP＝，所以·＝，则＝，即双曲线C的离心率e＝ ＝. 2．(2023·菏泽模拟)设坐标原点为O，抛物线y2＝4x与过焦点的直线交于A，B两点，则·等于(　 ) A． B．－ C．3 D．－3 解析：选D　法一：抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)， 设直线AB的方程为x＝ty＋1，A(x1，y1)， B(x2，y2)，由得y2－4ty－4＝0， Δ＝16t2＋16>0恒成立， 则所以·＝x1x2＋y1y2 ＝·＋y1y2＝＋(－4)＝－3. 法二：因为AB过抛物线的焦点， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则x1x2＝＝1，y1y2＝－p2＝－4， 所以·＝x1x2＋y1y2＝－3. 3．已知F1，F2是椭圆C：＋＝1的两个焦点，P是椭圆上一点，∠F1PF2＝60°，则△PF1F2的面积是(　 ) A．3 B．2 C． D． 解析：选D　根据焦点三角形面积公式，求S△PF1F2＝b2tan，其中θ＝∠F1PF2，由题意知b2＝3，θ＝，代入得S△PF1F2＝b2tan＝3·tan＝. 4．已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交椭圆于A，B两点，若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为(　 ) A．＋＝1 B．＋＝1 C．＋＝1 D．＋＝1 解析：选D　由题意知c＝3，即a2－b2＝9. 记AB的中点为P(1，－1)，由kAB·kOP＝－， 得(－1)×＝－， ∴a2＝2b2.又a2－b2＝9，∴a2＝18，b2＝9. ∴E的方程为＋＝1. 5．已知抛物线y2＝4x，过焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，则2|AF|＋|BF|的最小值为(　 ) A．2 B．2＋3 C．4 D．3＋2 解析：选D　因为p＝2，所以＋＝＝1， 所以2|AF|＋|BF|＝(2|AF|＋|BF|)·＝3＋＋≥3＋2 ＝3＋2， 当且仅当|BF|＝|AF|时，等号成立， 因此，2|AF|＋|BF|的最小值为3＋2. 6．(2023·海南模拟)已知P是椭圆＋＝1(a>b>0)上一动点，F1，F2是椭圆的左、右焦点，当∠F1PF2＝时，S△F1PF2＝4；当线段PF1的中点落到y轴上时，tan∠F1PF2＝，则椭圆的标准方程为(　 ) A．＋＝1 B．＋＝1 C．＋＝1 D．＋＝1 解析：选A　设|PF1|＝m，|PF2|＝n， 当∠F1PF2＝时，由题意知S△F1PF2＝b2tan， 即4＝b2tan，所以b2＝12. 如图，当线段PF1的中点落到y轴上时，又O为F1F2的中点，所以PF2∥y轴，即PF2⊥x轴． 由tan∠F1PF2＝，得＝， 即n＝，则m＝c，且n＝＝. 联立解得 所以椭圆的标准方程为＋＝1. 7．(2023·海南调研)(多选)已知斜率为的直线l经过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点F，与抛物线C交于A，B两点(点A在第一象限)，与抛物线的准线交于点D，若|AB|＝8，则以下结论正确的是(　 ) A．＋＝1 B．|AF|＝6 C．|BD|＝2|BF| D．F为AD的中点 解析：选BCD　法一：如图， 过点B作x＝－的垂线，垂足为B′，又F，直线l的斜率为， 则直线l的方程为y＝. 联立得12x2－20px＋3p2＝0. 解得xA＝，xB＝. 由|AB|＝|AF|＋|BF|＝xA＋xB＋p＝＝8，得p＝3.所以抛物线的方程为y2＝6x. 则|AF|＝xA＋＝2p＝6，故B正确； |BF|＝8－|AF|＝2，|BD|＝＝＝4，所以|BD|＝2|BF|，故C正确； |AF|＝|DF|＝6，则F为AD的中点，故D正确； 而＋＝，故A错误． 法二：设直线AB的倾斜角为θ，利用抛物线的焦点弦的性质，|AB|＝＝8，得p＝3. 所以|AF|＝＝6，|BF|＝＝2， ＋＝＝. 在Rt△DB′B中，cos θ＝，所以|BD|＝4，|DF|＝|BF|＋|BD|＝6.因此F为AD的中点．故选B、C、D． 8．已知A，B是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右顶点，M是椭圆上不同于A，B的任意一点，若直线AM，BM的斜率之积为－，则椭圆C的离心率为(　 ) A． B． C． D． 解析：选D　∵椭圆上不同于A，B的任意一点与左、右顶点的斜率之积为－，∴－＝－. ∴＝.∴椭圆的离心率e＝＝＝. 9．已知斜率为的直线经过抛物线y2＝2px(p>0)