专题跟踪检测19 圆锥曲线的方程与性质（Word练习）-【创新方案】2024年高考数学二轮复习专题辅导与测试（新教材）

专题跟踪检测（十九） 圆锥曲线的方程与性质 一、题点考法全面练 1．(2023·雅安模拟)若抛物线C的焦点到准线的距离为3，且C的开口朝左，则C的标准方程为(　 ) A．y2＝－6x B．y2＝6x C．y2＝－3x D．y2＝3x 解析：选A　依题意可设C的标准方程为y2＝－2px(p>0)，因为C的焦点到准线的距离为3，所以p＝3.所以C的标准方程为y2＝－6x.故选A． 2．已知抛物线y2＝4x的焦点和椭圆的一个焦点重合，且抛物线的准线截椭圆的弦长为3，则椭圆的标准方程为(　 ) A．＋＝1 B．＋＝1 C．＋＝1 D．＋＝1 解析：选B　抛物线y2＝4x的焦点为(1,0)，准线为x＝－1，设椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)，在椭圆中，c＝1，当x＝－1时，|y|＝，故＋＝1，又a2＝b2＋c2，所以a＝2，b＝.故椭圆的标准方程为＋＝1，故选B． 3．(2023·南通模拟)(多选)已知双曲线x2－＝1的右顶点为A，右焦点为F，双曲线上一点P满足|PA|＝2，则|PF|的长度可能为(　 ) A．2 B．3 C．4 D．5 解析：选AB　设P(x，y)，则y2＝3(x2－1)，A(1,0)，F(2,0)，则|PA|＝＝2，得x＝－1或x＝.当x＝－1时，P(－1,0)，此时|PF|＝3，当x＝时，y2＝，此时|PF|＝＝2.故选A、B． 4．若椭圆C：＋＝1(m>0)的离心率为，则椭圆C的长轴长为(　 ) A．2 B．或2 C．2 D．2或2 解析：选D　因为e2＝＝＝1－＝2＝，所以＝.①若椭圆C的焦点在x轴上，则＝＝，可得m＝6，则a＝＝，此时，椭圆C的长轴长为2；②若椭圆C的焦点在y轴上，则＝＝，可得m＝，则a＝，此时，椭圆C的长轴长为2.综上所述，椭圆C的长轴长为2或2.故选D． 5．(2023·洛阳模拟)若双曲线C：－＝1(a>0，b>0)其中一条渐近线的斜率为2，且点(，2)在C上，则C的标准方程为(　 ) A．－＝1 B．－＝1 C．x2－＝1 D．－y2＝1 解析：选A　由题意可得＝2，所以b＝2A．把点(，2)的坐标代入方程－＝1，得－＝1，所以a2＝2.所以b2＝8.则C的标准方程为－＝1，故选A． 6．已知椭圆C：＋＝1(m>1)的左、右焦点分别是F1，F2，P是椭圆C短轴的一个端点，且∠F1PF2＝90°，则椭圆C的长轴长是(　 ) A．2 B．4 C．4 D．8 解析：选C　由椭圆C：＋＝1，可得a2＝m＋3，b2＝m－1.因为P是椭圆C短轴的一个端点，且∠F1PF2＝90°，可得|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，即2a2＝4c2＝4(a2－b2)，可得a2＝2b2，即m＋3＝2(m－1)，解得m＝5，所以a＝2.故椭圆C的长轴长是4.故选C． 7．(2023·全国甲卷)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为，C的一条渐近线与圆(x－2)2＋(y－3)2＝1交于A，B两点，则|AB|＝(　 ) A． B． C． D． 解析：选D　根据双曲线的离心率e＝＝，得c＝a，即c2＝5a2，即a2＋b2＝5a2，所以b2＝4a2，＝4.所以双曲线的渐近线方程为y＝±2x.易知渐近线y＝2x与圆相交． 法一：由得5x2－16x＋12＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝.所以|AB|＝|x1－x2|＝ ＝，故选D． 法二：因为圆心(2,3)到渐近线y＝2x的距离d＝＝，所以|AB|＝2＝2＝，故选D． 8．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左焦点为F，右顶点为A，上顶点为B，过点F与x轴垂直的直线与直线AB交于点P.若线段OP的中点在椭圆C上，则椭圆C的离心率为(　 ) A． B． C． D． 解析：选A　由题意，F(－c,0)，A(a,0)，B(0，b)．由直线方程的截距式可得直线AB为＋＝1.过点F与x轴垂直的直线为x＝－c，联立可得x＝－c，y＝. 故P.设OP的中点为M，则M， 代入椭圆方程得＋＝1⇔＋－＝0⇔e2＋e－＝0，解得e＝(舍负)．故选A． 9．(2023·郑州模拟)已知双曲线C：－y2＝1的左焦点为F，过原点O的直线与C交于A，B两点，若|OF|＝|OA|，则|AF||BF|＝(　 ) A．2 B．4 C．8 D．16 解析：选A　已知双曲线C：－y2＝1，则a＝2，b＝1，c＝＝， 由|OF|＝|OA|可得AF⊥BF，设A为右支上一点，F2为右焦点，连接AF2，BF2，则四边形AFBF2为矩形，所以|AF2|＝|BF|.设|AF|＝m，|BF|＝n，则m－n＝4，m2＋n2＝20，所以|AF||BF|＝[m2＋n2－(m－n)2]＝2.故选A． 10．(多选)已知曲线C：mx2＋