专题跟踪检测17 概率与统计的综合问题（Word练习）-【创新方案】2024年高考数学二轮复习专题辅导与测试（新教材）

专题跟踪检测（十七） 概率与统计的综合问题 1．某公司对新生产出来的300辆新能源汽车进行质量检测，每辆汽车要由甲、乙、丙三名质检员各进行一次质量检测，三名质检员中有两名或两名以上检测不合格的将被列为不合格汽车，有且只有一名质检员检测不合格的汽车需要重新由甲、乙两人各进行一次质量检测，重新检测后，如果甲、乙两名质检员中还有一人或两人检测不合格，也会被列为不合格汽车．假设甲、乙、丙三名质检员的检测相互独立，每一次检测不合格的概率为p(0<p<1)． (1)求每辆汽车被列为不合格汽车的概率q； (2)公司对本次质量检测的预算支出是4万元，每辆汽车不需要重新检测的费用为60元，需要重新检测的前后两轮检测的总费用为100元，所有汽车除检测费用外，其他费用估算为1万元，若300辆汽车全部参与质量检测，实际费用是否会超出预算？ 解：(1)由题意知，每辆汽车第一轮质量检测被列为不合格汽车的概率为Cp2(1－p)＋Cp3， 每辆汽车重新检测被列为不合格汽车的概率为Cp(1－p)2[1－(1－p)2]， 综上可知，每辆汽车被列为不合格汽车的概率为 q＝Cp2(1－p)＋Cp3＋Cp(1－p)2[1－(1－p)2]＝－3p5＋12p4－17p3＋9p2. (2)设每辆汽车质量检测的费用为X元，则X的可能取值为60,100， 由题意知P(X＝100)＝Cp(1－p)2，P(X＝60)＝1－Cp(1－p)2， 所以随机变量X的数学期望为 E(X)＝60×[1－Cp(1－p)2]＋100×Cp(1－p)2＝60＋120p(1－p)2(元)，p∈(0,1)， 令f(x)＝60＋120x(1－x)2，x∈(0,1)， 则f′(x)＝120[(1－x)2－2x(1－x)]＝120(3x－1)(x－1)， 所以当0<x<时，f′(x)>0；当x∈时，f′(x)<0； 所以函数f(x)在上单调递增，在上单调递减， 所以f(x)≤f＝60＋120×2＝，即E(X)≤(元)． 所以此方案的最高费用为1＋300××10－4＝ (万元)， 综上可知，实际费用估计不会超过预算． 2．锚定2060碳中和，中国能源演进“绿之道”．为响应绿色低碳发展的号召，某地在沙漠治理过程中，计划在沙漠试点区域四周种植红柳和梭梭树用于防风固沙，中间种植适合当地环境的特色经济作物．通过大量试验发现，单株经济作物幼苗的成活率为0.8，红柳幼苗和梭梭树幼苗成活的概率均为p，且已知任取三种幼苗各一株，其中至少有两株幼苗成活的概率不超过0.896. (1)当p最大时，经济作物幼苗的成活率也将提升至0.88，求此时三种幼苗均成活的概率； (2)正常情况下梭梭树幼苗栽种5年后，其树干地径服从正态分布N(250,52)(单位：mm)． ①梭梭树幼苗栽种5年后，若任意抽取一棵梭梭树，则树干地径小于235 mm的概率约为多少？(精确到0.001) ②为更好地监管梭梭树的生长情况，梭梭树幼苗栽种5年后，农林管理员随机抽取了10棵梭梭树，测得其树干地径均小于235 mm，农林管理员根据抽检结果，认为该地块土质对梭梭树的生长产生影响，计划整改地块并选择合适的肥料，试判断该农林管理员的判断是否合理？并说明理由． 附：若随机变量Z服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤Z≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ≤Z≤μ＋2σ)≈0.954 5，P(μ－3σ≤Z≤μ＋3σ)≈0.997 3. 解：(1)由题意得，任取三种幼苗各一株，至少有两株幼苗成活，包括恰有两株幼苗成活，三株幼苗均成活两种情况， 故概率为[(1－0.8)×p2＋2×0.8×p(1－p)]＋0.8×p2≤0.896， 即3p2－8p＋4.48≥0，解得p≤或p≥(舍去)． 又p>0，故p的取值范围为， 故p的最大值为0.8， 记红柳和梭梭树幼苗均成活为事件A，经济作物幼苗成活为事件B， 则有P(A)＝0.8×0.8＝0.64，P(B)＝0.88. 故所求概率为P(AB)＝P(A)P(B)＝0.64×0.88＝0.563 2. (2)①设正常情况下，任意抽取一棵梭梭树，树干地径为X mm， 由题意可知X～N(250,52)，因为235＝250－3×5， 所以由正态分布的对称性及“3σ”原则可知， P(X<235)＝×[1－P(235≤X≤265)]≈×0.002 7≈0.001. ②理由1：农林管理员的判断是合理的． 如果该地块土质对梭梭树的生长没有影响，由①可知， 随机抽取10棵梭梭树，树干地径都小于235 mm的概率约为0.00110， 为极小概率事件，几乎不可能发生，但这样的事件竟然发生了， 所以有理由认为该地块对梭梭树的生长产生影响，即农林管理员的判断是合理的． 理由2：农林管理员的判断是不合理的． 由于是随机抽取了10棵梭梭树，所以不可控因