专题跟踪检测16 离散型随机变量的分布列（Word练习）-【创新方案】2024年高考数学二轮复习专题辅导与测试（新教材）

专题跟踪检测（十六） 离散型随机变量的分布列 1．(2023·孝感模拟)某商场举行有奖促销活动，顾客当日消费金额达366元及以上的均可抽奖．每次抽奖都是从装有2个红球，8个白球的箱子中一次性取出2个小球，若取出2个红球，得200元本商场购物券；若取出1个红球和1个白球，得80元本商场购物券；若取出2个白球，得10元本商场购物券． (1)求顾客抽一次奖获得购物券金额的分布列； (2)为吸引更多的顾客，现在有两种改进方案，甲方案：在原方案上加一个红球和一个白球，其他不变．乙方案：在原方案的购物券上各加10元，其他不变；若你是顾客，你希望采用哪种方案． 解：(1)设获得购物券的金额为X，则X可以取200,80,10， P(X＝200)＝＝，P(X＝80)＝＝，P(X＝10)＝＝. X的分布列为 X 200 80 10 P (2)方案甲，设获得购物券的金额为Y，则Y可以取200,80,10， P(Y＝200)＝＝，P(Y＝80)＝＝，P(Y＝10)＝＝. 则E(Y)＝200×＋80×＋10×＝. 方案乙，设获得购物券的金额为Z，E(Z)＝210×＋90×＋20×＝. 因为E(Z)>E(Y)，所以顾客希望采用方案乙． 2．为深入学习党的二十大精神，某校团委组织学生开展了“喜迎二十大，奋进新征程”知识竞赛活动，现从参加该活动的学生中随机抽取了100名，统计出他们竞赛成绩分布如下： 成绩(分) [40，50) [50，60) [60，70) [70，80) [80，90) [90，100] 人数 2 4 22 40 28 4 (1)求抽取的100名学生竞赛成绩的方差s2(同一组中数据用该组区间的中点值为代表)； (2)以频率估计概率，发现该校参赛学生竞赛成绩X近似地服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ近似为样本平均分，σ2近似为样本方差s2，若μ－σ<X≤μ＋2σ，参赛学生可获得“参赛纪念证书”；若X>μ＋2σ，参赛学生可获得“参赛先锋证书”． ①若该校有3 000名学生参加本次竞赛活动，试估计获得“参赛纪念证书”的学生人数(结果保留整数)； ②试判断竞赛成绩为96分的学生能否获得“参赛先锋证书”． 附：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ<X≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)≈0.954 5，P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)≈0.997 3；抽取的这100名学生竞赛成绩的平均分＝75. 解：(1)由题意，抽取的这100名学生竞赛成绩的平均分＝75， 所以100名学生本次竞赛成绩方差s2＝(45－75)2×＋(55－75)2×＋(65－75)2×＋(75－75)2×＋(85－75)2×＋(95－75)2×＝100. (2)①由于μ近似为样本成绩平均分，σ2近似为样本成绩方差s2， 所以μ＝75，σ2＝100，可知，σ＝＝10， 由于竞赛成绩X近似地服从正态分布N(μ，σ2)， 因此竞赛学生可获得“参赛纪念证书”的概率 P(μ－σ<X≤μ＋2σ)＝P(μ－σ<X≤μ＋σ)＋P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)≈×0.682 7＋×0.954 5＝0.818 6， 所以3 000×0.818 6＝2 455.8≈2 456， 故估计获得“参赛纪念证书”的学生人数为2 456. ②当X>μ＋2σ时，即X>95时，参赛学生可获得“参赛先锋证书”， 所以竞赛成绩为96分的学生能获得“参赛先锋证书”． 3．已知某排球特色学校的校排球队来自高一、高二、高三三个年级的学生人数分别为7人、6人、2人． (1)若从该校队随机抽取3人拍宣传海报，求抽取的3人中恰有1人来自高三年级的概率． (2)现该校的排球教练对“发球、垫球、扣球”这3个动作技术进行训练，且在训练阶段进行了多轮测试，规定：在一轮测试中，这3个动作至少有2个动作达到“优秀”，则该轮测试记为“优秀”．已知在某一轮测试的3个动作中，甲同学每个动作达到“优秀”的概率均为，乙同学每个动作达到“优秀”的概率均为，且每位同学的每个动作互不影响，甲、乙两人的测试结果互不影响．记X为甲、乙二人在该轮测试结果为“优秀”的人数，求X的分布列和数学期望． 解：(1)设事件A为“抽取的3人中恰有1人来自高三年级”，则有P(A)＝＝. (2)设甲同学在一轮测试中3个动作“优秀”的个数为Y，则有Y～B； 设乙同学在一轮测试中3个动作“优秀”的个数为Z，则有Z～B； 所以甲同学在一轮测试结果为优秀的概率 P(Y≥2)＝P(Y＝2)＋P(Y＝3)＝C2×1＋C3×0＝， 乙同学在一轮测试结果为优秀的概率 P(Z≥2)＝P(Z＝2)＋P(Z＝3)＝C2×1＋C3×0＝. 由题意，得X可取0,1,2： 则有P(X＝0)＝×＝；P(X＝1)＝×＋×＝； P(X＝2)＝×＝.