专题跟踪检测11 “立体几何”中的空间角与距离问题（Word练习）-【创新方案】2024年高考数学二轮复习专题辅导与测试（新教材）

专题跟踪检测（十一） “立体几何”中的空间角与距离问题 1．(2023·潍坊一模)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PC⊥PD，二面角A－CD－P为直二面角． (1)求证：PB⊥PD； (2)当PC＝PD时，求直线PC与平面PAB所成角的正弦值． 解：(1)证明：由题意知平面PCD⊥平面ABCD， 又平面PCD∩平面ABCD＝CD，BC⊥CD，BC⊂平面ABCD，所以BC⊥平面PCD． 因为PD⊂平面PCD，所以BC⊥PD． 又因为PC⊥PD，BC∩PC＝C，PC⊂平面PBC，BC⊂平面PBC，所以PD⊥平面PBC． 因为PB⊂平面PBC，所以PD⊥PB． (2)取CD的中点O，连接PO，取AB的中点E，连接OE. 因为PC＝PD，点O是CD的中点，所以PO⊥CD． 又因为平面PCD⊥平面ABCD，平面PCD∩平面ABCD＝CD，PO⊂平面PCD，所以PO⊥平面ABCD． 因为点O，E分别是CD，AB的中点，所以OE∥AD，则OE⊥CD． 则OP＝CD＝1，OE＝AD＝2. 以点O为坐标原点，OD，OE，OP所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则O(0,0,0)，C(－1,0,0)，B(－1,2,0)，P(0，0,1)，A(1，2,0)，＝(－1，－2，1)，＝(－2,0,0)，＝(－1,0，－1)． 设n＝(x，y，z)是平面PAB的法向量，则取y＝1，则z＝2， 所以n＝(0,1,2)． 设直线PC与平面PAB所成的角为θ，则sin θ＝＝＝＝， 所以直线PC与平面PAB所成角的正弦值为. 2.(2023·菏泽一模)如图，直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AD⊥CD，AD∥BC，AD＝CD＝2，BC＝3，A1C1与B1D1交于点E，G为棱BB1上一点，且BB1＝3BG，点C1到平面A1BD的距离为. (1)判断AG是否在平面AED1内，并说明理由； (2)求平面AD1E与平面AA1D1所成角的余弦值． 解：(1)AG不在平面AED1内．理由如下： 以A为坐标原点，过A作与AD垂直的直线为x轴，AD，AA1所在的直线分别为y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 设直四棱锥的高为m，则D(0，2,0)，B(2，－1,0)，C1(2,2，m)，A1(0,0，m)，＝(2，－1，－m)，＝(2,2,0)，＝(0,2，－m)． 设平面A1BD的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，则即取n1＝(3m,2m,4)． 所以点C1到平面A1BD的距离d＝＝＝＝，解得m＝2. 设平面AB1D1的法向量为n2＝(x2，y2，z2)，由＝(2，－1,2)，＝(0,2,2)， 得即取n2＝(－3，－2,2)． 而＝，所以·n2＝2×(－3)＋(－1)×(－2)＋×2＝－≠0. 又AB1与AE，AD1共面，故直线AG不在平面AED1内． (2)由(1)知平面AED1的一个法向量为n2＝(－3，－2,2)， 易知平面AA1D1的一个法向量为n3＝(1,0,0)． 设二面角E－AD1－A1的平面角为α，则cos α＝＝＝. 故二面角E－AD1－A1的余弦值为. 3.在三棱锥P－ABC中，PA＝4，AB＝2，BC＝2，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，D为AC的中点，点E在棱PC上(端点除外)．过直线DE的平面α与平面PAB垂直，平面α与此三棱锥的面相交，交线围成一个四边形． (1)在图中画出这个四边形，并写出作法(不要求证明)； (2)若PE＝3EC，求点C到平面α的距离． 解：(1)取AB的中点M，连接DM，作EF∥BC交PB于点F，连接MF，则四边形DMFE即为所求．如图所示． (2)以点A为坐标原点，过A垂直于平面PAC的直线为x轴，AC，AP所在直线分别为y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图所示． 因为AB⊥BC，AB＝2，BC＝2，所以AC＝4，∠BAC＝30°，AM＝AB＝， 所以M，D(0,2,0)，C(0，4,0)．因为PA＝4，AC＝4，PE＝3EC， 所以E(0,3,1)，故＝(0，－1,1)，＝，＝(0,1,1)． 设平面DME的法向量为m＝(x，y，z)， 则有即 令x＝1，则y＝，z＝－，所以m＝(1，，－)． 所以点C到平面α的距离d＝＝＝. 4.(2023·全国乙卷)如图，三棱锥P－ABC中，AB⊥BC，AB＝2，BC＝2，PB＝PC＝，BP，AP，BC的中点分别为D，E，O，AD＝DO，点F在AC上，BF⊥AO. (1)证明：EF∥平面ADO； (2)证明：平面ADO⊥平面BEF； (3)求二面角D－AO－C的正弦值． 解：(1)证明：设AF＝tAC，则＝＋＝(1－t)＋t，＝－＋.因为BF⊥AO，所以·＝[(1－t)＋t]·＝(t－1)2＋t2＝4(t－1)＋4