专题跟踪检测8 空间几何体的表面积与体积（Word练习）-【创新方案】2024年高考数学二轮复习专题辅导与测试（新教材）

专题跟踪检测（八） 空间几何体的表面积与体积 一、题点考法全面练 1.如图，在三棱台A′B′C′－ABC中，沿平面A′BC截去三棱锥A′－ABC，则剩余的部分是(　 ) A．三棱锥 　　　 B．四棱锥 C．三棱柱 　　　 D．组合体 解析：选B　在三棱台A′B′C′－ABC中，沿平面A′BC截去三棱锥A′－ABC，剩余的部分是以A′为顶点，四边形BCC′B′为底面的四棱锥A′－ BCC′B′.故选B． 2．(2023·淄博一模)如图，某几何体的形状类似胶囊，两头都是半球，中间是圆柱，其中圆柱的底面半径与半球的半径都为2，若该几何体的表面积为20π，则其体积为(　 ) A．π B．15π C．π D．π 解析：选A　由题意，设该几何体中间部分圆柱的高为h，圆柱的半径为r，则该几何体的表面积为4πr2＋2πr·h＝20π.因为r＝2，所以h＝1.所以该几何体的体积V＝πr3＋πr2h＝π，故选A． 3.某公园设置了一些石凳供大家休息，每张石凳是由正方体石料截去八个一样的四面体得到的，如图所示．如果一张石凳的体积是0.18 m3，那么原正方体石料的体积是(　 ) A．0.196 m3 B．0.216 m3 C．0.225 m3 D．0.234 m3 解析：选B　如图，设正方体的棱长为a，则正方体的体积为a3，每一个正四面体的体积为····＝.由题意可得a3－8·＝0.18⇒a3＝0.216. 4.某车间需要对一个圆柱形工件进行加工，该工件底面半径为15 cm，高为10 cm，加工方法为在底面中心处打一个半径为r cm且和原工件有相同轴的圆柱形通孔．若要求工件加工后的表面积最大，则r的值应设计为(　 ) A． B． C．4 D．5 解析：选D　因为大圆柱表面积为2×152π＋10×2×15π＝750π，小圆柱侧面积为10×2πr，上、下底面积为2πr2，所以加工后工件的表面积为750π＋20πr－2πr2，当r＝5时表面积最大．故选D． 5．(2023·济南一模)用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截得的圆台上底面半径为1，下底面半径为2，且该圆台侧面积为3π，则原圆锥的母线长为(　 ) A．2 B． C．4 D．2 解析：选D　设圆台的母线长为l，因为该圆台侧面积为3π，则由圆台侧面积公式可得πl(1＋2)＝3πl＝3π，所以l＝.设截去的圆锥的母线长为l′，由三角形相似可得＝，则2l′＝l′＋，解得l′＝.所以原圆锥的母线长为l′＋l＝＋＝2，故选D． 6．已知圆台的上、下底面圆半径分别为5和10，侧面积为300π，AB为圆台的一条母线(点B在圆台的上底面圆周上)，M为AB的中点，一只蚂蚁从点B出发，绕圆台侧面一周爬行到点M，则蚂蚁爬行所经路程的最小值为(　 ) A．30 B．40 C．50 D．60 解析：选C　∵圆台上底面半径为5，下底面半径为10，母线长为l，∴S＝πl(10＋5)＝15πl＝300π，解得l＝20.将圆台所在的圆锥展开如图所示，设扇形的圆心为O， 线段M1B就是蚂蚁经过的最短距离，设OA＝R，圆心角是α，则由题意知10π＝αR　①，20π＝α(20＋R)　②，由①②解得α＝，R＝20.∴OM＝OM1＝30，OB1＝OB＝40，∴M1B＝＝50.故选C． 7．中国古代数学家很早就对空间几何体进行了系统的研究，中国传世数学著作《九章算术》卷五“商功”主要讲述了以立体问题为主的各种形体体积的计算公式．例如在推导正四棱台(古人称方台)体积公式时，将正四棱台切割成九部分进行求解．如图(1)为俯视图，图(2)为立体切面图．E对应的是正四棱台中间位置的长方体；B，D，H，F对应四个三棱柱，A，C，I，G对应四个四棱锥．若这四个三棱柱的体积之和为12，四个四棱锥的体积之和为4，则该正四棱台的体积为(　 ) A．24 B．28 C．32 D．36 解析：选B　如图，令四棱锥的底面边长为a，高为h，三棱柱的高为b，依题意，四棱锥的体积为a2h＝1，即a2h＝3，三棱柱的体积为ahb＝3，即abh＝6，因此b＝2A．于是长方体的体积V＝b2h＝4a2h＝12，所以该正四棱台的体积为12＋4＋12＝28.故选B． 8．(2023·十堰二模)已知A，B，C，D是球O的球面上的四个点，圆O1为△ABC的外接圆．若圆O1的面积为π，AB＝AC＝BC＝OO1，则四面体ABCD体积的最大值为(　 ) A． B． C． D． 解析：选B　因为圆O1的面积为π，所以圆O1的半径为1，AB＝2sin 60°＝，则球O的半径R＝＝2.所以四面体ABCD体积的最大值为××(2＋)＝.故选B． 9．(多选)已知A，B，C三点均在球O的表面上，AB＝BC＝CA＝2，且球心O到平面ABC的距离等于球