专题跟踪检测6 数列求和及其综合应用（Word练习）-【创新方案】2024年高考数学二轮复习专题辅导与测试（新教材）

专题跟踪检测（六） 数列求和及其综合应用 1．(2023·全国乙卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a2＝11，S10＝40. (1)求{an}的通项公式； (2)求数列{|an|}的前n项和Tn. 解：(1)设{an}的公差为d，则 解得a1＝13，d＝－2. 所以{an}的通项公式为an＝13＋(n－1)·(－2)＝15－2n. (2)由(1)得|an|＝ 当n≤7时， Tn＝13n＋×(－2)＝14n－n2， 当n≥8时，Tn＝T7＋1＋3＋5＋…＋(2n－15)＝T7＋1＋3＋5＋…＋[2(n－7)－1]＝14×7－72＋＝98－14n＋n2. 综上，Tn＝ 2．已知数列{an}的前n项和为Sn，an－1＋an＋1＝2an(n≥2，n∈N*)，且a1＝1，S5＝15. (1)求数列{an}的通项公式； (2)若bn＝求数列{bn}的前2n项和T2n. 解：(1)由an－1＋an＋1＝2an(n≥2，n∈N*)，得an＋1－an＝an－an－1(n≥2，n∈N*)， 所以数列{an}为等差数列．所以S5＝5×＝5a3＝15，得a3＝3. 所以公差d＝＝1.所以an＝n. (2)当n为奇数时，bn＝an＝n.当n为偶数时，bn＝2an－1＝2n－1. 所以T2n＝(b1＋b3＋…＋b2n－1)＋(b2＋b4＋…＋b2n)＝(1＋3＋…＋2n－1)＋(2＋23＋…＋22n－1)＝n2＋. 3．(2023·新课标Ⅰ卷)设等差数列{an}的公差为d，且d＞1.令bn＝，设Sn，Tn分别为数列{an}，{bn}的前n项和． (1)若3a2＝3a1＋a3，S3＋T3＝21，求{an}的通项公式； (2)若{bn}为等差数列，且S99－T99＝99，求D． 解：(1)因为3a2＝3a1＋a3， 所以3d＝a1＋2d，所以a1＝d， 所以an＝nD． 因为bn＝，所以bn＝＝， 所以S3＝＝＝6d，T3＝b1＋b2＋b3＝＋＋＝. 因为S3＋T3＝21， 所以6d＋＝21，解得d＝3或d＝， 因为d＞1，所以d＝3. 所以{an}的通项公式为an＝3n. (2)因为bn＝，且{bn}为等差数列， 所以2b2＝b1＋b3，即2×＝＋， 所以－＝，所以a－3a1d＋2d2＝0，解得a1＝d或a1＝2D． 因为d>1，所以an>0，又因为S99－T99＝99， 由等差数列的性质，得99a50－99b50＝99， 即a50－b50＝1，所以a50－＝1， 即a－a50－2 550＝0， 解得a50＝51或a50＝－50(舍去)． 当a1＝2d时，a50＝a1＋49d＝51d＝51，解得d＝1，与d＞1矛盾，无解，当a1＝d时，a50＝a1＋49d＝50d＝51，解得d＝.综上，d＝. 4．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，a1＝2且an＋1＝2Sn＋2. (1)求数列{an}的通项公式； (2)在an与an＋1之间插入n个数，使这n＋2个数组成一个公差为bn的等差数列，求证数列的前n项和Tn<. 解：(1)设等比数列{an}的公比为q，由an＋1＝2Sn＋2，得an＝2Sn－1＋2(n≥2)， 两式相减得到an＋1－an＝2Sn－2Sn－1＝2an，即an＋1＝3an，所以q＝＝3(n≥2)．又因为a1＝2，当n＝1时，可得a2＝2S1＋2＝2a1＋2＝6，可得＝3，适合上式，所以q＝3. 所以数列{an}的通项公式为an＝2·3n－1(n∈N*)． (2)证明：由题意得，an＋1－an＝(n＋1)bn，即2·3n－2·3n－1＝(n＋1)bn，整理得bn＝. 所以＝·＝. 所以Tn＝＝.因为>0，所以1－<1，所以Tn＝<. 5．(2023·南通模拟)已知公差大于0的等差数列{an}满足a2a4＝a11，a3＝5. (1)求{an}的通项公式； (2)在an与an＋1之间插入2n个2，构成新数列{bn}，求数列{bn}的前110项和S110. 解：(1)设公差为d (d>0)，由题意得(5－d)(5＋d)＝5＋8d， 化简得d2＋8d－20＝0，解得d＝2或d＝－10(舍去)， 所以an＝a3＋(n－3)d＝5＋2n－6＝2n－1. (2)由(1)知，在2n－1与2n＋1之间插入2n个2，所以当忽略数列{an}中的项，则当有n次插入新数，共有21＋22＋23＋…＋2n＝＝2n＋1－2个项， 当n＝5时，有62个数；当n＝6时，共有126个数， 所以110项应该介于a6和a7之间，即110＝62＋6＋42， 表示共有104个2和原先{an}中前6项之和， 所以S110＝1＋3＋5＋7＋9＋11＋104×2＝244. 6．已知数列{an}是递增的等差数列，设其前n项和为Sn，已知S2＝3，且a2，a4，a8成等比数列． (1)求