专题跟踪检测4 “解三角形”大题的考法研究（Word练习）-【创新方案】2024年高考数学二轮复习专题辅导与测试（新教材）

专题跟踪检测（四） “解三角形”大题的考法研究 1．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知acos B＋bcos A＝2ccos C． (1)求C； (2)若c＝1，求△ABC面积的取值范围． 解：(1)在△ABC中，由已知及正弦定理得sin Acos B＋sin Bcos A＝2sin Ccos C， 即有sin(A＋B)＝2sin Ccos C，即sin C＝2sin Ccos C，而0<C<π，sin C>0，则cos C＝， 所以C＝. (2)在△ABC中，由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcos C得1＝a2＋b2－ab， 因此1≥2ab－ab，即0<ab≤1，当且仅当a＝b时取等号． 又S△ABC＝absin C＝×ab＝ab∈，所以△ABC面积的取值范围是. 2．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知2c－b＝2acos B． (1)求角A的值； (2)若△ABC的面积S＝，c＝，试判断△ABC的形状． 解：(1)因为2c－b＝2acos B，由正弦定理得2sin C－sin B＝2sin Acos B， sin B＝2sin(π－A－B)－2sin Acos B＝2sin(A＋B)－2sin Acos B＝2(sin Acos B＋cos Asin B)－2sin Acos B＝2cos Asin B． 又B是三角形内角，sin B≠0，所以cos A＝.A∈(0，π)，所以A＝. (2)S△ABC＝bcsin A＝b××sin＝，b＝2， a2＝b2＋c2－2bccos A＝(2)2＋()2－2×2××＝9，a＝3， 又＝＝＝＝2，sin B＝1，sin C＝， 所以B＝，△ABC是直角三角形． 3．(2023·泰安二模)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝2，b＝3，cos B＝－. (1)求sin C； (2)若点D在△ABC的外接圆上，且∠ABD＝∠CBD，求AD的长． 解：(1)法一：在△ABC中，由余弦定理得，9＝4＋c2－4c×，即c2＋c－5＝0， 解得c＝－3(舍)或c＝. ∵cos B＝－，B∈(0，π)，∴sin B＝. 由正弦定理得，sin C＝＝. 法二：在△ABC中，cos B＝－，∴sin B＝. 由正弦定理得，sin A＝＝，∴cos A＝， ∴sin C＝sin(A＋B)＝×＋×＝. (2)连接CD(图略)，∵∠ABD＝∠CBD，∴＝，∴AD＝CD． 又∠ABC＋∠ADC＝π，∴cos∠ADC＝. 设AD＝CD＝m(m>0)，在△ACD中，由余弦定理得，9＝m2＋m2－2m2×＝m2， ∴m2＝，∴m＝，∴AD＝. 4．在①tan Atan C－tan A＝1＋tan C；②(2c－a)cos B＝bcos A；③(a－c)sin A＋csin C＝bsin B这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并作答． 问题：在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且________． (1)求角B的大小； (2)已知c＝b＋1，且角A有两解，求b的范围． 解：(1)若选①：整理得1－tan Atan C＝－(tan A＋tan C)，因为A＋B＋C＝π， 所以tan B＝－tan(A＋C)＝－＝.因为B∈(0，π)，所以B＝. 若选②：因为(2c－a)cos B＝bcos A，由正弦定理得(2sin C－sin A)cos B＝sin Bcos A， 所以2sin Ccos B＝sin(A＋B)＝sin C．因为sin C>0，所以cos B＝.因为B∈(0，π)，所以B＝. 若选③：由正弦定理整理得a2＋c2－b2＝ac，所以＝，即cos B＝.因为B∈(0，π)，所以B＝. (2)将c＝b＋1代入正弦定理＝，得＝，所以sin C＝， 因为B＝，角A的解有两个，所以角C的解也有两个，所以<sin C<1， 即<<1.又b>0，所以b<b＋1<2b，解得b>1.故b的取值范围是(1，＋∞)． 5．(2023·聊城二模)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知4a2cos2B＋4b2sin2A＝3b2－3c2. (1)证明：a＋6ccos B＝0； (2)若b＝1，求△ABC面积的最大值． 解：(1)证明：由正弦定理及4a2cos2B＋4b2sin2A＝3b2－3c2得4sin2Acos2B＋4sin2Bsin2A＝3sin2B－3sin2C， 即4sin2A＝3sin2B－3sin2C．再由正弦定理可得4a2＝3b2－3c2. 由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B得，a2＋c2－2accos B＝a2＋c2，即a＝－6ccos B，故a＋6ccos B＝0. (2)由4a2＝3b2－3c2及