专题跟踪检测2 三角恒等变换与解三角形（Word练习）-【创新方案】2024年高考数学二轮复习专题辅导与测试（新教材）

专题跟踪检测（二） 三角恒等变换与解三角形 一、题点考法全面练 1．已知α是第四象限的角，cos α＝，则tan 2α＝(　 ) A．－ B． C． D．－ 解析：选B　因为α是第四象限的角，所以sin α＝－＝－，则tan α＝＝－，tan 2α＝＝＝.故选B． 2．(2023·潍坊一模)已知角α在第四象限内，sin＝，则sin α＝(　 ) A．－ B． C． D．－ 解析：选D　由已知可得，sin＝cos(2α＋π)＝－cos 2α＝，所以cos 2α＝－，所以sin2α＝＝.又角α在第四象限内，所以sin α＝－＝－.故选D． 3．在△ABC中，若sin C＝3sin A，b2＝2ac，则cos B＝(　 ) A． B． C． D． 解析：选C　因为sin C＝3sin A，由正弦定理得c＝3a，且b2＝2ac，由余弦定理得cos B＝＝＝. 4．(2023·茂名一模)下列四个函数中，最小正周期与其余三个函数不同的是(　 ) A．f(x)＝cos2x＋sin xcos x B．f(x)＝ C．f(x)＝cos＋cos D．f(x)＝sincos 解析：选C　对于选项A，f(x)＝＋sin 2x＝sin＋，∴T＝π；对于选项B，sin x≠0且cos x≠0，f(x)＝＝＝tan x，∴T＝π；对于选项C，f(x)＝cos x－sin x＋cos x＋sin x＝cos x，∴T＝2π；对于选项D，f(x)＝sin 2＝sin，∴T＝π.故选C． 5．(2023·南充二模)在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若b2＋c2＝2 023a2，则的值为(　 ) A．2 021 B．2 022 C．2 023 D．2 024 解析：选B　因为b2＋c2＝2 023a2，则根据正弦定理和余弦定理有＝·cos A＝·＝＝2 022.故选B． 6．若α∈，cos＋2cos α＝4cos α·cos2，则α等于(　 ) A． B． C． D． 解析：选D　依题意可知，cos＝2cos α，即cos＝2cos αcos，即cos αcos＋sin αsin＝2cos αcos，得cos＝0，因为α∈，α＋∈，所以α＋＝，即α＝. 7．(2023·长沙一模)若＝，则cos 2α的值为(　 ) A．－ B． C．－ D． 解析：选A　由＝可得，tan＝，所以tan α＝ tan＝＝＝2，所以cos 2α＝cos2α－sin2α＝＝＝－.故选A． 8．我国古代数学典籍《九章算术》卷九“勾股”中有一测量问题：“今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尽，问索长几何？”这个问题体现了古代对直角三角形的研究，现有一竖立的木头柱子，高4米，绳索系在柱子上端，牵着绳索退行，当绳索与底面夹角为75°时绳索未用尽，再退行4米绳索用尽(绳索与地面接触)，则绳索长为(　 ) A．3米 B．4米 C．5米 D．16米 解析：选B　依题意可得如图所示的图形，则AB＝4，CD＝4，∠ACB＝75°，所以∠CAB＝90°－75°＝15°，所以BC＝ABtan∠CAB＝4tan 15°＝4tan(45°－30°) ＝4×＝4×＝8－4，所以BD＝BC＋CD＝8，所以AD＝＝＝4，所以绳索长为4米．故选B． 9．(2023·聊城一模)(多选)在△ABC中，若A>B，则(　 ) A．sin A>sin B B．cos A<cos B C．sin 2A>sin 2B D．cos 2A<cos 2B 解析：选ABD　在△ABC中，若A>B，由三角形中大边对大角，可得a>B．又由正弦定理，可知sin A>sin B，故A正确；又由余弦函数在(0，π)上单调递减，可知cos A<cos B，故B正确；由sin 2A＝2sin Acos A和sin 2B＝2sin Bcos B，当A>时，cos A<0，所以sin 2A<sin 2B，故C错误；由cos 2A＝1－2sin2A，cos 2B＝1－2sin2B，由A可知D正确．故选A、B、D． 10．已知在锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝c－2acos B．则角A的取值范围是(　 ) A． B． C． D． 解析：选C　∵a＝c－2acos B，由正弦定理可得sin A＝sin C－2sin Acos B，则sin A＝sin(A＋B)－2sin Acos B＝cos Asin B－sin Acos B＝sin(B－A)，在锐角三角形ABC中，A，B，C∈，则B－A∈，∴A＝B－A，即B＝2A，可得解得A∈.故选C． 11．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a＝2，cos A(2sin B－sin C)＝sin A