“数列” 大题规范增分练（Word练习）-【创新方案】2024年高考数学二轮复习专题辅导与测试（新教材）

“数列” 大题规范增分练 1．(2023·山东省实验中学校考二模)已知两个正项数列{an}，{bn}满足(an－bn)bn＝1，＝. (1)求数列{an}，{bn}的通项公式； (2)若数列{cn}满足cn＝[an＋an＋1]＋bn，其中[x]表示不超过x的最大整数，求{cn}的前n项和Sn. 解：(1)由＝，得anbn＝n2＋1，由(an－bn)·bn＝1，得anbn＝1＋b，∴b＝n2.∵{bn}是正项数列，∴bn＝n，∴an＝＝n＋. (2)∵[an＋an＋1]＝＝＝ ∴cn＝[an＋an＋1]＋bn＝ ∴当n≥2时Sn＝5＋7＋10＋…＋(3n＋1) ＝5＋＝(3n2＋5n＋2)， 当n＝1时S1＝5满足Sn＝(3n2＋5n＋2)， ∴Sn＝(3n2＋5n＋2)． 2．(2023·潍坊模拟)已知公差不为零的等差数列{an}的前n项和为Sn，S3＝15, 且a1，a3，a11成等比数列． (1)求数列{an}的通项公式； (2)设bn＝an·n，试问数列{bn}是否存在最大项？若存在，求出最大项序号n的值；若不存在，请说明理由． 解：(1)设该等差数列的公差为d，d≠0，由S3＝15⇒3a1＋×3×2d＝15①. 因为a1，a3，a11成等比数列，所以a＝a1a11⇒(a1＋2d)2＝a1(a1＋10d)②， 由①②可得a1＝2，d＝3⇒an＝2＋(n－1)·3＝3n－1. (2)由(1)可知，an＝3n－1，bn＝an·n＝(3n－1)·n，假设存在最大项bn， 则有 ⇒ ⇒⇒≤n≤. 因为n∈N*，所以n＝6.所以假设成立，数列{bn}存在最大项，序号n＝6. 3．已知数列{an}的前n项和为Sn，且＝. (1)证明：数列{an}是等差数列； (2)若a2＋1，a3＋1，a5成等比数列．从下面三个条件中选择一个，求数列{bn}的前n项和Tn.①bn＝；②bn＝；③bn＝. 解：(1)证明：因为＝，即n(an＋1)＝2Sn，当n＝1时a1＋1＝2S1，解得a1＝1； 当n≥2时(n－1)(an－1＋1)＝2Sn－1，所以n(an＋1)－(n－1)(an－1＋1)＝2Sn－2Sn－1， 即n(an＋1)－(n－1)(an－1＋1)＝2an，所以(n－2)an－(n－1)an－1＋1＝0， 当n＝2时上述式子恒成立，当n>2时两边同时除以(n－2)(n－1)，得－＝－＝－，即－＝－，所以为常数列，即＝a2－1，所以an－1＝(n－1)(a2－1)，即an＝(n－1)(a2－1)＋1， 当n＝1时上述an＝(n－1)(a2－1)＋1也成立， 所以an＋1－an＝n(a2－1)＋1－(n－1)(a2－1)－1＝a2－1.所以{an}是以1为首项，a2－1为公差的等差数列． (2)设{an}的公差为d，因为a2＋1，a3＋1，a5成等比数列， 所以(a3＋1)2＝a5(a2＋1)，即(2＋2d)2＝(1＋4d)·(2＋d)，解得d＝2.所以an＝2n－1. 若选①：bn＝，则bn＝＝， 所以Tn＝＝. 若选②：bn＝，则bn＝ ＝ ＝(－)， 所以Tn＝(－＋－＋…＋－)＝(－1)． 若选③：bn＝， 则bn＝＝－， 所以Tn＝－＋－＋…＋－ ＝－. 4．(2023·南通模拟)设数列{an}的前n项和为Sn，已知Sn＝2an－n＋1. (1)证明：数列{an＋1}是等比数列； (2)若数列{bn}满足b1＝a2，bn＋1＝求数列{bn}的前14项的和． 解：(1)证明：Sn＝2an－n＋1，　　　 ① 则Sn＋1＝2an＋1－(n＋1)＋1, ② ②－①，得an＋1＝2an＋1－2an－1，即an＋1＝2an＋1， ∴an＋1＋1＝2(an＋1)，即＝2. 令Sn＝2an－n＋1中n＝1，得S1＝a1＝2a1－1＋1，解得a1＝0，则a1＋1＝1. ∴{an＋1}是首项为1，公比为2的等比数列． (2)由(1)知an＋1＝2n－1，则an＝2n－1－1， ∴bn＋1＝且b1＝a2＝22－1－1＝1. ∴当n为偶数时，bn＋1＝2n－1－1－bn，即bn＋bn＋1＝2n－1－1， ∴b1＋b2＋…＋b14＝b1＋(b2＋b3)＋(b4＋b5)＋…＋(b12＋b13)＋ b14＝1＋21－1＋23－1＋…＋211－1＋212－1＝1＋－6＋212－1＝. 5．(2023·长沙模拟)已知数列{an}为等差数列，a2＝3，a14＝3a5，数列{bn}的前n项和为Sn，且满足2Sn＝3bn－1. (1)求数列{an}和{bn}的通项公式； (2)若cn＝an·bn，数列{cn}的前n项和为Tn，且Tn－n·3n<(－1)n·m对n∈N*恒成立，求实数m的取值范围． 解：(1)设等差数列{an}的公差为d， 则⇒ ⇒⇒⇒an＝2n