“立体几何” 大题规范增分练（Word练习）-【创新方案】2024年高考数学二轮复习专题辅导与测试（新教材）

“立体几何” 大题规范增分练 1.如图，在四棱锥P－ABCD中，已知PA＝PC，AB＝BC． (1)求证：PB⊥AC； (2)若平面PCD⊥平面ABCD，AB∥CD，且AB＝2CD＝2，∠ABC＝90°，二面角P－BC－D的大小为45°，求直线PB与平面PAD所成角的正弦值． 解：(1)证明：如图，取AC的中点M，连接MB，MP. ∵在△PAC中，PA＝PC，MA＝MC，∴MP⊥AC． 同理在△ABC中，AB＝BC，MA＝MC，∴MB⊥AC，且MP∩MB＝M，MP，MB⊂平面PMB， ∴AC⊥平面PMB．又PB⊂平面PMB，∴PB⊥AC． (2)因为平面PCD⊥平面ABCD，交线为CD， 又∠ABC＝90°，AB∥CD，所以BC⊥CD．因为BC⊂平面ABCD， 所以BC⊥平面PCD．因为PC⊂平面PCD，所以BC⊥PC． 故∠PCD为二面角P－BC－D的平面角，∠PCD＝45°. 以B为原点，BC所在直线为x轴，以BA所在直线为y轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则B(0,0,0)，P(2,2,2)，A(0,2,0)，C(2,0,0)，D(2,1,0)，则＝(0,1,2)，＝(2，－1,0)．设平面PAD的法向量为n＝(x，y，z)，则⇒令x＝1，得n＝(1,2，－1)． 又＝(2,2,2)，所以直线BP与平面PAD所成角θ的正弦值为sin θ＝|cos〈n，〉|＝＝. 2.如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AB⊥AC，AB＝AC＝4，AA1＝2，点D是棱BC的中点． (1)求证：A1B∥平面AC1D； (2)在棱AC上是否存在点M，使得直线BD与平面A1DM所成角的余弦值为？若存在，求出AM与AC长度的比值；若不存在，请说明理由． 解：(1)证明：连接A1C交AC1于点O，连接OD，由于四边形ACC1A1为矩形，所以O为A1C的中点．又D是棱BC的中点， 故在△A1BC中，OD是△A1BC的中位线，因此OD∥A1B，OD⊂平面AC1D，A1B⊄平面AC1D，所以A1B∥平面AC1D． (2)存在点M，使得直线BD与平面A1DM所成角的余弦值为.理由如下： 由AA1⊥平面ABC，AB⊥AC可知，三棱柱ABC－A1B1C1为直三棱柱，且底面为直角三角形，故以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则A(0,0,0)，A1(0,0,2)，B(4,0,0)，C(0,4,0)，D(2,2，0)，设＝λ(0≤λ≤1)，则M(0,4λ，0)，＝(0,4λ，－2)，＝(－2,4λ－2,0)，＝(－2,2,0)． 设平面A1DM的法向量为n＝(x1，y1，z1)，则取z1＝2λ，则x1＝2λ－1，y1＝1，得n＝(2λ－1,1,2λ)． 设直线BD与平面A1DM所成的角为θ∈，则cos θ＝，可得sin θ＝＝.所以|cos〈n，〉|＝ ＝＝， 整理得λ2＋6λ－3＝0，解得λ＝2－3或λ＝－2－3，由于0≤λ≤1，所以λ＝2－3. 所以棱AC上存在点M，使得直线BD与平面A1DM所成角的余弦值为，此时＝λ＝2－3. 3.(2023·淄博二模)如图，△ABC是圆柱底面的内接三角形，PA为圆柱的母线，其中∠ACB＝，圆柱的母线和其底面圆直径的长都为2. (1)当AB⊥PC时，证明：AC⊥PB； (2)当三棱锥P－ABC体积取最大值时，求平面PAC与平面PBC夹角的余弦值． 解：(1)证明：由于PA为圆柱的母线，所以PA⊥平面ABC，AB⊂平面ABC，可得PA⊥AB． 由已知AB⊥PC，且PA⊂平面PAC，PC⊂平面PAC，PA∩PC＝P， 所以AB⊥平面PAC．因为AC⊂平面PAC，所以AB⊥AC． 因为PA⊥平面ABC，AC⊂平面ABC，所以PA⊥AC，且PA⊂平面PAB，AB⊂平面PAB，PA∩AB＝A， 所以AC⊥平面PAB，且PB⊂平面PAB，所以AC⊥PB． (2)当三棱锥P－ABC体积最大值时，即△ABC的面积取得最大值，设△ABC的三边为a，b，c， 因为∠ACB＝，所以AB＝c＝2sin＝.由余弦定理可得c2＝3＝a2＋b2－ab≥ab，当且仅当a＝b时等号成立． 所以S△ABC＝absin C≤×3×＝，当△ABC的面积取得最大值时，△ABC为正三角形．以AB所在直线为x轴，PA所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则A(0,0,0)，B(，0,0)，P(0,0,2)，C.设平面PAC的法向量为n1＝(x，y，z)， 其中＝(0,0,2)，＝，则令y＝1，得n1＝(－，1,0)． 设平面PBC的法向量为n2＝(x′，y′，z′)，其中＝(－，0,2)，＝， 则 令y′＝1，得n2＝. 所以平面PAC与平面PBC夹角的余弦值为＝＝. 4.如图，线段AC是圆O的直径，点B是圆O上异于