“解三角形” 大题规范增分练（Word练习）-【创新方案】2024年高考数学二轮复习专题辅导与测试（新教材）

“解三角形” 大题规范增分练 1．记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知＝2. (1)求bc； (2)若－＝1，求△ABC面积． 解：(1)由余弦定理知cos A＝， 代入＝2，得2bc＝2，故bc＝1. (2)由正弦定理及－＝1， 得－＝1， 化简得－＝1. ∵A＋B＝π－C，∴sin(A＋B)＝sin C， ∴sin(A－B)－sin B＝sin C＝sin(A＋B)， ∴sin Acos B－cos Asin B－sin B＝sin Acos B＋cos Asin B，∴－2cos Asin B＝sin B． ∵B∈(0，π)，∴sin B≠0，∴cos A＝－. ∵A∈(0，π)，∴sin A＝＝. 由(1)知bc＝1，故△ABC的面积S＝bcsin A＝×1×＝. 2．(2023·济南一模)已知函数f(x)＝2sin xcos x＋sin2x－cos2x. (1)求f(x)的单调递减区间； (2)△ABC中内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，f(A)＝2，b＝3，c＝2，求A的内角平分线AD的长． 解：(1)因为f(x)＝2sin xcos x＋sin2x－cos2x＝sin 2x－cos 2x＝2sin， 所以2kπ＋≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，解得kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z，所以f(x)的单调递减区间为，k∈Z. (2)因为f(A)＝2sin＝2， 所以sin＝1. 因为A∈(0，π)，所以2A－∈，所以2A－＝，所以A＝，故∠BAD＝∠CAD＝. 由题意知，S△ABD＋S△ACD＝S△ABC， 所以AB·ADsin∠BAD＋AD·ACsin∠CAD＝AB·AC·sin∠BAC， 即×2ADsin＋×3ADsin＝×2×3sin，所以AD＝. 3．(2023·潍坊一模)在△ABC中，设角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足(a＋b)b＝c2. (1)求证：C＝2B； (2)求的最小值． 解：(1)证明：在△ABC中，由已知及余弦定理，得(a＋b)b＝c2＝a2＋b2－2abcos C，即b＝a－2bcos C， 由正弦定理，得sin B＝sin A－2sin Bcos C， 又A＝π－(B＋C)， 故sin B＝sin(B＋C)－2sin Bcos C＝sin Bcos C＋cos Bsin C－2sin Bcos C＝cos Bsin C－sin Bcos C＝sin(C－B)． ∵0<sin B＝sin(C－B)，∴0<C－B<π， ∵B＋(C－B)＝C<π，∴B＝C－B，故C＝2B． (2)由(1) C＝2B得B＋C＝3B∈(0，π)，∴B∈，cos B∈， 由(1)a＝b(1＋2cos C)，C＝2B， 得＝＝＝＝4cos B＋≥2＝4， 当且仅当B＝∈时等号成立，所以当B＝时，的最小值为4. 4．在△ABC的内角的对边分别为a，b，c，已知a＝3cos C，b＝1. (1)证明：tan C＝2tan B； (2)再从条件①、②这两个条件中选择一个作为已知，求cos 2B的值． 条件①：△ABC的面积取到最大值； 条件②：c＝. 解：(1)证明：因为a＝3cos C，b＝1，所以a＝3bcos C，由正弦定理得sin A＝3sin Bcos C， 又A＋B＋C＝π，所以3sin Bcos C＝sin(π－B－C)＝sin(B＋C)＝sin Bcos C＋cos Bsin C， 所以2sin Bcos C＝cos Bsin C，显然cos B≠0，cos C≠0，所以tan C＝2tan B； (2)选①，△ABC的面积取到最大值， S△ABC＝absin C＝cos Csin C＝sin 2C，所以C＝时，S△ABC取得最大值，此时tan C＝1，由(1)知tan B＝tan C＝，cos 2B＝cos2B－sin2B＝＝＝＝. 选②，c＝，由正弦定理＝得sin C＝sin B，sin2C＝sin2B， 由(1)tan C＝2tan B，＝，所以＝，cos2C＝cos2B， 所以sin2C＋cos2C＝sin2B＋cos2B，即1＝sin2B＋，sin2B＝， cos 2B＝1－2sin2B＝1－2×＝. 5．设函数f(x)＝2sin2ωx＋2sin ωxcos ωx的图象关于直线x＝π对称，其中ω为常数且ω∈. (1)求函数f(x)的解析式； (2)在△ABC中，已知f(A)＝3，且B＝2C，求cos Acos C的值． 解：(1)因为f(x)＝2sin2ωx＋2sin ωxcos ωx，所以f(x)＝1－cos 2ωx＋sin 2ωx＝2sin＋1，由题意2ωπ－＝＋kπ，k∈Z，则ω＝＋，k∈Z.由ω∈，则k＝1，故ω＝＋＝，所以f(x)＝2sin＋1. (2)由f(