“概率与统计” 大题规范增分练（Word练习）-【创新方案】2024年高考数学二轮复习专题辅导与测试（新教材）

“概率与统计” 大题规范增分练 1．(2023·常德二模)某大学一个专业团队为某专业大学生研究了多款学习软件，其中有A，B，C三款软件投入使用，经一学年使用后，团队调查了这个专业大一四个班的使用情况，从各班抽取的样本人数如下表： 班级 一 二 三 四 人数 3 2 3 4 (1)从这12人中随机抽取2人，求这2人恰好来自同一班级的概率； (2)从这12名学生中，指定甲、乙、丙三人为代表，已知他们下午自习时间每人选择一款软件，其中选A，B两款软件学习的概率都是，且他们选择A，B，C任一款软件都是相互独立的，设这三名学生中下午自习时间选软件C的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望． 解：(1)由题知，从这12人中随机抽取2人，共有C＝66种可能情况， 记“这2人恰好来自同一班级”为事件A，则事件A包含的可能情况有C＋C＋C＋C＝3＋1＋3＋6＝13种， 所以P(A)＝. (2)由题知，ξ的可能取值为0,1,2,3， 因为选A，B两款软件学习的概率都是，且他们选择A，B，C任一款软件都是相互独立的， 所以他们选择C款软件学习的概率是1－－＝， 所以这三名学生中下午自习时间选软件C的人数为ξ～B， 所以P(ξ＝0)＝C03＝， P(ξ＝1)＝C12＝＝， P(ξ＝2)＝C21＝＝， P(ξ＝3)＝C30＝； 所以ξ的分布列为 ξ 0 1 2 3 P 所以E(ξ)＝3×＝2. 2．(2023·菏泽一模)为了促进学生德、智、体、美、劳全面发展，某校成立了生物科技小组，在同一块试验田内交替种植A，B，C三种农作物(该试验田每次只能种植一种农作物)，为了保持土壤肥度，每种农作物都不连续种植，共种植三次．在每次种植A后会有的可能性种植B，的可能性种植C；在每次种植B的前提下再种植A的概率为，种植C的概率为，在每次种植C的前提下再种植A的概率为，种植B的概率为. (1)在第一次种植B的前提下，求第三次种植A的概率； (2)在第一次种植A的前提下，求种植A作物次数X的分布列及期望． 解：(1)设Ai，Bi，Ci表示第i次种植作物A，B，C的事件，其中i＝1,2,3. 在第一次种植B的情况下，第三次种植A的概率为P(A3)＝P(C2|B1)P(A3|C2)＝×＝. (2)由已知条件，在第1次种植A的前提下： P(B2)＝，P(A3|B2)＝，P(C3|B2)＝， P(C2)＝，P(A3|C2)＝，P(B3|C2)＝， 因为第一次必种植A，则随机变量X的可能取值为1,2， P(X＝1)＝P(C2B3)＋P(B2C3)＝P(B3|C2)·P(C2)＋P(C3|B2)·P(B2)＝×＋×＝，P(X＝2)＝P(C2A3)＋P(B2A3)＝P(A3|C2)·P(C2)＋P(A3|B2)·P(B2)＝×＋×＝， 所以X的分布列为 X 1 2 P E(X)＝1×＋2×＝. 3．某工厂一台设备生产一种特定零件，工厂为了解该设备的生产情况，随机抽检了该设备在一个生产周期中的100件产品的关键指标(单位：cm)，经统计得到下面的频率分布直方图： (1)由频率分布直方图估计抽检样本关键指标的平均数和方差s2；(用每组的中点代表该组的数据) (2)已知这台设备正常状态下生产零件的关键指标服从正态分布N(μ，σ2)，用直方图的平均数估计值作为μ的估计值，用直方图的标准差估计值s作为σ的估计值. ①为了监控该设备的生产过程，每个生产周期中都要随机抽测10个零件的关键指标，如果关键指标出现了(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件，就认为生产过程可能出现了异常，需停止生产并检查设备．下面是某个生产周期中抽测的10个零件的关键指标： 0.8 1.2 0.95 1.01 1.23 1.12 1.33 0.97 1.21 0.83 利用和判断该生产周期是否需停止生产并检查设备； ②若设备状态正常，记X表示一个生产周期内抽取的10个零件关键指标在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件个数，求P(X≥1)及X的数学期望． 参考公式：直方图的方差s2＝(xi－)2pi，其中xi为各区间的中点，pi为各组的频率． 参考数据：若随机变量X服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3，≈0.105，≈0.110，0.997 39≈0.976 0，0.997 310≈0.973 3. 解：(1)由频率分布直方图，得＝0.8×0.1＋0.9×0.2＋1×0.35＋1.1×0.3＋1.2×0.05＝1.s2＝(0.8－1)2×0.1＋(0.9－1)2×0.2＋(1－1)2×0.35＋(1.1－1)2×0.3＋(1.2－1)2×0.05＝0.011. (2)①由(1)可知＝1，＝≈0.105， 所以－3＝