专题跟踪检测23 选修4-4 坐标系与参数方程（Word练习）-【创新方案】2024年高考数学(文科)二轮复习专题辅导与测试（老教材）

专题跟踪检测（二十三） 选修4-4 坐标系与参数方程 1．(2022·全国甲卷)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(t为参数)，曲线C2的参数方程为(s为参数)． (1)写出C1的普通方程； (2)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C3的极坐标方程为2cos θ－sin θ＝0，求C3与C1交点的直角坐标，及C3与C2交点的直角坐标． 解：(1)根据C1的参数方程，消去参数t可得x＝⇒y2＝6x－2(y≥0)， 所以曲线C1的普通方程为y2＝6x－2(y≥0)． (2)曲线C3的极坐标方程可化为2ρcos θ－ρsin θ＝0，所以普通方程为y＝2x.根据C2的参数方程，消去参数s可得x＝－⇒y2＝－6x－2(y≤0)． 根据得或 所以C3与C2交点的直角坐标为，(－1，－2)． 根据得或 所以C3与C1交点的直角坐标为，(1,2)． 2．(2022·全国乙卷)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(t为参数)．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l的极坐标方程为ρsin＋m＝0. (1)写出l的直角坐标方程； (2)若l与C有公共点，求m的取值范围． 解：(1)直线l的极坐标方程为ρsin＋m＝0，即ρsin θ＋ρcos θ＋2m＝0，根据得l的直角坐标方程为x＋y＋2m＝0. (2)曲线C的参数方程为(t为参数)，将sin t＝代入x＝cos 2t＝(1－2sin2t)，得曲线C的普通方程为y2＝－x＋2(－2≤y≤2)． 联立直线l与曲线C的方程， 得(－2≤y≤2)，消去x并整理得3y2－2y－6－4m＝0(－2≤y≤2)． 法一：若直线l与曲线C有公共点，则Δ＝(－2)2－4×3×(－6－4m)≥0，且3×(－2)2－2×(－2)－6－4m≥0， 所以－≤m≤. 法二：所以4m＝3y2－2y－6(－2≤y≤2)，因为3y2－2y－6＝3－6＝32－，所以当－2≤y≤2时，－≤3y2－2y－6≤10，即－≤4m≤10，则－≤m≤，即m的取值范围为. 3．(2021·全国甲卷)在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝2cos θ. (1)将C的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)设点A的直角坐标为(1,0)，M为C上的动点，点P满足＝ ，写出P的轨迹C1的参数方程，并判断C与C1是否有公共点． 解：(1)由ρ＝2cos θ，知ρ2＝2ρcos θ. 又ρ2＝x2＋y2，ρcos θ＝x， 所以x2＋y2＝2x，即(x－)2＋y2＝2. (2)设M(＋cos θ，sin θ)，P(x，y)． 因为A(1,0)，＝ ， 所以 所以C1的参数方程为 其中θ为参数，θ∈[0,2π)． 此时C1的直角坐标方程为(x－3＋)2＋y2＝4. 所以C与C1的圆心距为＝3－2. 因为r1－r2＝2－，又2－－3＋2＝－1＞0， 所以两圆内含，故C与C1无公共点． 4．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝. (1)若α＝，求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程； (2)设点P在直角坐标系下的坐标为(0,1)，直线l与曲线C交于A，B两点，且|PA|·|PB|＝4，求直线l的倾斜角． 解：(1)若α＝，则消去t后可得y＝x＋1，即x－y＋＝0. 由曲线C的极坐标方程为ρ＝可得ρcos θ＝2tan θ，即x＝2×，即为x2＝2y. 故直线l的普通方程为x－y＋＝0，曲线C的直角坐标方程为x2＝2y. (2)因为直线l的参数方程为(t为参数)，而P(0,1)， 故P在直线l上，设θ为直线l的倾斜角，则直线l的参数方程可为 其中|t|为QP的长度(Q(x，y))． 设A(t1cos θ，1＋t1sin θ)，B(t2cos θ，1＋t2sin θ)，其中|PA|＝|t1|，|PB|＝|t2|， 且t1，t2为方程t2cos2θ－2(1＋tsin θ)＝0的两个根， 而该方程可整理为t2cos2θ－2tsin θ－2＝0， 因为|PA|·|PB|＝4，故|t1t2|＝4＝， 故cos θ＝±， 因为θ∈[0，π)，故θ＝或θ＝. 5．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(t为参数，m＞0)．以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ2－4ρcos θ＋3＝0. (1)求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程； (2)若曲线C1与曲线C2相交于A，B两点，当·＝1时，求m的值． 解：(1)由(t为参数，m＞0)消去参数t，得y＝mx(x≥0，m＞0)， 由x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，ρ2＝x2＋y2及ρ2