专题跟踪检测22 利用导数研究函数零点问题（Word练习）-【创新方案】2024年高考数学(文科)二轮复习专题辅导与测试（老教材）

专题跟踪检测（二十二） 利用导数研究函数零点问题 1．已知函数f(x)＝x－sin x，g(x)＝xln x－msin x＋1. (1)求函数f(x)＝x－sin x在[0，＋∞)上的最小值； (2)当0≤m≤1时，证明：函数g(x)无零点． 解：(1)∵f′(x)＝1－cos x≥0，∴函数f(x)＝x－sin x在[0，＋∞)上单调递增，∴f(x)≥f(0)＝0， 故函数f(x)＝x－sin x在[0，＋∞)上的最小值为0. (2)证明：当m＝0时，g(x)＝xln x＋1，g′(x)＝ln x＋1. 由g′(x)<0，得0<x<；由g′(x)>0，得x>， ∴g(x)在上单调递减，在上单调递增， ∴g(x)的最小值为g＝1－>0，此时函数g(x)无零点．当0<m≤1时，由(1)知，当x>0时，x>sin x，∴－msin x>－mx. ∴g(x)＝xln x－msin x＋1>xln x－mx＋1. 易知xln x－mx＋1≥xln x－x＋1，记h(x)＝xln x－x＋1，则h′(x)＝1＋ln x－1＝ln x， 当0<x<1时，h′(x)<0；当x>1时，h′(x)>0， ∴h(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，∴h(x)≥h(1)＝0， ∴g(x)＝xln x－msin x＋1>0，此时函数g(x)无零点．综上，当0≤m≤1时，函数g(x)无零点． 2．(2023·成都二模)已知函数f(x)＝，其中x>0，a>0. (1)当a＝1时，求函数f(x)的单调区间； (2)若方程＝x－aln x恰有两个不相等的实数根，求a的取值范围． 解：(1)当a＝1时，f(x)＝.∴f′(x)＝. ∵x>0，∴当0<x<1时，f′(x)<0；当x>1时，f′(x)>0.∴函数f(x)的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1，＋∞)． (2)∵x>0，a>0，∴＝ln ex－ln xa＝ln， 令t＝>0，则＝ln t. 令h(t)＝ln t－，则h′(t)＝－. ∴当0<t<e时，h′(t)>0；当t>e时，h′(t)<0. ∴函数h(t)在(0，e)上单调递增，在(e，＋∞)上单调递减．∵h(e)＝0，∴方程＝ln t有唯一解t＝e. ∴方程＝x－aln x有两个不相等的实数解等价于方程e＝有两个不相等的实数解， 即等价于方程aln x＝x－1有两个不相等的实数解． 构造函数k(x)＝aln x－x＋1，则k′(x)＝－1. ∵a>0，∴当0<x<a时，k′(x)>0.当x>a时，k′(x)<0.∴函数k(x)在(0，a)上单调递增，在(a，＋∞)上单调递减． ∵x→0＋，k(x)→－∞；x→＋∞，k(x)→－∞， ∴只需要k(a)＝aln a－a＋1>0，即ln a＋－1>0. 构造函数m(a)＝ln a＋－1，则m′(a)＝－. ∴当0<a<1时，m′(a)<0；当a>1时，m′(a)>0. ∴函数m(a)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．∵m(1)＝0，∴当a≠1时，ln a＋－1>0恒成立．∴a的取值范围为(0,1)∪(1，＋∞)． 3．已知函数f(x)＝ax－ln x，a∈R. (1)过坐标原点作f(x)的切线，求该切线的方程； (2)证明：当a<0时，f(x)＋ax2＝0只有一个实数根． 解：(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，设切点为(x0，ax0－ln x0)，f′(x)＝a－，则f′(x0)＝a－. 故切线方程为y－(ax0－ln x0)＝(x－x0)， 由切线过原点，则0－(ax0－ln x0)＝(0－x0)，得x0＝e. 所以所求切线方程为y＝x. (2)证明：要证明a<0时，f(x)＋ax2＝0只有一个实数根，即证ax－ln x＋ax2＝0只有一个实数根． 令h(x)＝ax－ln x＋ax2(x>0)， 则h′(x)＝a－＋2ax＝<0， 即h(x)单调递减， 当x＝e3a时，h(e3a)＝ae3a－3a＋ae6a>a－3a＋a＝－a>0，又h (1)＝2a<0， 由零点存在性定理知h(x)只有一个实数根， 所以a<0时，f(x)＋ax2＝0只有一个实数根． 4．已知函数f(x)＝x－2sin x. (1)求f(x)在(0, π)的极值； (2)证明：函数g(x)＝ln x－f(x)在(0，π)上有且只有两个零点． 解：(1)由f(x)＝x－2sin x，得f′(x)＝1－2cos x，x∈(0，π)，令f′(x)＝0，得x＝， 当0<x<时，f′(x)<0，此时函数f(x)单调递减， 当<x<π时，f′(x)>0，此时函数f(x)单调递增， 所以函数f(x)的极小值为f＝－，无极大值． (2)证明：g(x)＝ln x－f(x)＝ln x－x＋2sin