专题跟踪检测20 利用导数研究函数的单调性、极值与最值问题（Word练习）-【创新方案】2024年高考数学(文科)二轮复习专题辅导与测试（老教材）

专题跟踪检测（二十） 利用导数研究函数的单调性、极值与最值问题 1．已知e是自然对数的底数，实数a是常数，函数f(x)＝ex－ax－1的定义域为(0，＋∞)． (1)设a＝e，求函数f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线方程； (2)判断函数f(x)的单调性． 解：(1)∵a＝e，∴f(x)＝ex－ex－1，∴f′(x)＝ex－e，f(1)＝－1，f′(1)＝0.∴当a＝e时，函数f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线方程为y＝－1. (2)∵f(x)＝ex－ax－1，∴f′(x)＝ex－a.易知f′(x)＝ex－a在(0，＋∞)上单调递增．∴当a≤1时，f′(x)>0，故f(x)在(0，＋∞)上单调递增；当a>1时，由f′(x)＝ex－a＝0，得x＝ln a, ∴当0<x<ln a时，f′(x)<0，当x>ln a时，f′(x)>0，∴f(x)在(0，ln a)上单调递减，在(ln a，＋∞)上单调递增．综上，当a≤1时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增；当a>1时，f(x)在(0，ln a)上单调递减，在(ln a，＋∞)上单调递增． 2．已知函数f(x)＝(a>0)的导函数f′(x)的两个零点为－3和0. (1)求f(x)的单调区间； (2)若f(x)的极小值为－e3，求f(x)在区间[－5，＋∞)上的最大值． 解：(1)f′(x)＝ ＝.令g(x)＝－ax2＋(2a－b)x＋b－c，因为ex>0，所以f′(x)的零点就是g(x)＝－ax2＋(2a－b)x＋b－c的零点，且f′(x)与g(x)符号相同．又因为a>0，所以当－3<x<0时，g(x)>0，即f′(x)>0，当x<－3或x>0时，g(x)<0，即f′(x)<0，所以f(x)的单调递增区间是(－3,0)，单调递减区间是(－∞，－3)，(0，＋∞)． (2)由(1)知，x＝－3是f(x)的极小值点，所以有解得a＝1，b＝5，c＝5，所以f(x)＝.由(1)可知当x＝0时f(x)取得极大值f(0)＝5，故f(x)在区间[－5，＋∞)上的最大值取f(－5)和f(0)中的最大者．而f(－5)＝＝5e5>5＝f(0)，所以函数f(x)在区间[－5，＋∞)上的最大值是5e5. 3．已知函数f(x)＝－x3＋ax2＋bx. (1)当a＝0, b＝1时，证明：当x∈(1, ＋∞)时，f(x)<ln x； (2)若b＝a2，函数f(x)在区间(1, 2)上存在极大值，求a的取值范围． 解：(1)证明：由题意得f(x)＝－x3＋ x，则f′(x)＝－3x2＋1，当x>1时，f′(x)<0，f(x)在(1, ＋∞)上是减函数，∴f(x)< f(1)＝0，设g(x)＝ln x，g(x)在(1, ＋∞)上是增函数， ∴g(x)>ln 1＝0，∴当x∈(1, ＋∞)时，f(x)<ln x. (2) f′(x)＝－3x2＋2ax＋a2＝－(3x＋a)(x－a)，且x∈(1, 2)，令f′(x)＝0，得x＝－或x＝a. ①当a＝0时，则f′(x)＝－3x2<0，f(x)单调递减，函数f(x)没有极值． ②当a>0时，若x<－，则f′(x)<0，f(x)单调递减；若－<x<a，则f′(x)>0，f(x)单调递增；若x>a，则f′(x)<0，f(x)单调递减， ∴f(x)在x＝a取得极大值，在x＝－取得极小值，则1<a<2. ③当a<0时，若x<a，则f′(x)<0，f(x)单调递减； 若a<x<－，则f′(x)>0，f(x)单调递增；若x>－，则f′(x)<0，f(x)单调递减． ∴f(x)在x＝－取得极大值，在x＝a取得极小值，由1<－<2，得－6<a<－3. 综上，函数f(x)在区间(1, 2)上存在极大值时，a的取值范围为(－6，－3)∪(1,2)． 4．已知函数f(x)＝，其中a∈R. (1)当a＝0时，求f(x)在(1，f(1))处的切线方程； (2)求证：f(x)的极大值恒大于0. 解：(1)f′(x)＝ ＝. 当a＝0时，f′(1)＝，f(1)＝， 则f(x)在(1，f(1))处的切线方程为y＝x. (2)证明：令f′(x)＝＝0，解得x＝2或x＝－a. ①当a＝－2时，f′(x)≤0恒成立，此时函数f(x)在R上单调递减， ∴函数f(x)无极值． ②当a>－2时，令f′(x)>0，解得－a<x<2， 令f′(x)<0，解得x<－a或x＞2， ∴函数f(x)在(－a,2)上单调递增， 在(－∞，－a)，(2，＋∞)上单调递减， ∴f(x)极大值＝f(2)＝>0. ③当a＜－2时，令f′(x)>0，解得2＜x＜－a， 令f′(x)<0，解得x＜2或x＞－a， ∴函数f(x)在(2，－a)上单调递增， 在(－∞，2)，(－a，＋∞)上单调递减， ∴f(x)极大值＝f(－a)