专题跟踪检测16 圆锥曲线中的最值、范围问题（Word练习）-【创新方案】2024年高考数学(文科)二轮复习专题辅导与测试（老教材）

专题跟踪检测（十六） 圆锥曲线中的最值、范围问题 1．已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，|F1F2|＝4，点P(， 1)在椭圆E上． (1)求椭圆E的标准方程； (2)设过点F2且倾斜角不为0的直线l与椭圆E的交点为A，B，求△F1AB面积最大时直线l的方程． 解：(1)因为|F1F2|＝2c＝4，可得c＝2，则F1(－2, 0)，F1(2, 0)， 由椭圆的定义可得2a＝|PF1|＋|PF2|＝＋＝2，得a＝，所以b＝＝， 因此，椭圆E的标准方程为＋＝1. (2)由题意，设点A(x1, y1)，B(x2, y2)，设直线l的方程为x＝my＋2(m≠0)， 联立消去x可得(m2＋3)y2＋4my－2＝0，Δ＝16m2＋8(m2＋3)＝24(m2＋1)>0， 因为y1＋y2＝－，y1y2＝－， 所以S△F1AB＝|F1F2|·|y1－y2|＝ 2＝2＝ ，令t＝>1， 则S△F1AB＝＝≤＝2， 当且仅当t＝，即m＝±1时，等号成立， 此时直线l的方程为x－y－2＝0或x＋y－2＝0. 2．已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点M(a，2)在抛物线C上． (1)若|MF|＝6，求抛物线的标准方程； (2)若直线x＋y＝t与抛物线C交于A，B两点，点N的坐标为(1,0)，且满足NA⊥NB，原点O到直线AB的距离不小于，求p的取值范围． 解：(1)由题意及抛物线的定义得，a＋＝6， 又点M(a，2)在抛物线C上，所以20＝2pa， 由解得或 所以抛物线的标准方程为y2＝4x或y2＝20x. (2)联立消去y，整理得x2－(2t＋2p)x＋t2＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝2t＋2p，x1x2＝t2.因为NA⊥NB，所以(x1－1)(x2－1)＋y1y2＝0，又y1＝t－x1，y2＝t－x2， 所以2x1x2－(1＋t)(x1＋x2)＋t2＋1＝0，得2p＝.由原点O到直线AB的距离不小于，得≥ ，即t≤－2(舍去)或t≥2， 因为2p＝＝t＋1＋－4，函数y＝在t∈[2，＋∞)上单调递增， 所以p≥，即p的取值范围为. 3．已知椭圆Γ：＋＝1(a>b>0)的左焦点为F，其离心率e＝，过点F垂直于x轴的直线交椭圆Γ于P，Q两点，|PQ|＝. (1)求椭圆Γ的方程； (2)若椭圆的下顶点为B，过点D(2, 0)的直线l与椭圆Γ相交于两个不同的点M，N，直线BM，BN的斜率分别为k1，k2，求k1＋k2的取值范围． 解：(1)由题可知 解得 ∴椭圆Γ的方程为＋y2＝1. (2)由题可知，直线MN的斜率存在，则设直线MN的方程为y＝k(x－2)，M(x1，y1)，N(x2，y2)． 由题可知整理得(2k2＋1)x2－8k2x＋8k2－2＝0，Δ＝(－8k2)2－4(2k2＋1)(8k2－2)＝－8(2k2－1)>0，解得k∈. 由根与系数的关系可得 x1＋x2＝，x1x2＝. 由(1)知，点B(0，－1)，设椭圆上顶点为A， ∴A(0,1)，k≠kDA＝－且k≠kDB＝. ∴k1＋k2＝＋＝＋＝2k＋＝2k＋＝2k－＝＝1－∈∪∪. ∴k1＋k2的取值范围为∪∪(2＋，＋∞)． 4．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的上顶点到右顶点的距离为，离心率为，过椭圆左焦点F1作不与x轴重合的直线与椭圆C相交于M，N两点，直线l的方程为：x＝－2a，过点M作ME垂直于直线l，交直线l于点E. (1)求椭圆C的标准方程； (2)点O为坐标原点，求△OEN面积的最大值． 解：(1)由题意可得 所以a＝2，b＝，c＝1.故椭圆方程为＋＝1. (2)由题意知，F1(－1,0)，直线l的方程为x＝－4，设直线MN方程：x＝my－1，M(x1，y1)，N(x2，y2)，E(－4，y1)， 联立方程得(3m2＋4)y2－6my－9＝0， 所以y1＋y2＝，y1y2＝. 所以－2my1y2＝3(y1＋y2)．又kEN＝， 所以直线EN方程为y－y1＝(x＋4)． 令y＝0，则x＝－4－＝－4－＝－4＋＝－4＋＝－， 所以直线EN过定点P. 由Δ＝144(m2＋1)＞0，所以m∈R， 又|y1－y2|＝＝， 所以S△OEN＝|OP||y1－y2|＝·＝＝. 令t＝，t≥1，则f(t)＝， 令g(t)＝3t＋，g′(t)＝3－＝， 当t≥1时，g′(t)＞0， 故g(t)＝3t＋在[1，＋∞)上单调递增， 则f(t)＝在[1，＋∞)上单调递减， 即S△OEN＝＝在[1，＋∞)上单调递减，所以t＝1时，f(t)max＝.即S△OEN最大值为. 学科网（北京）股份有限公司 $$