专题跟踪检测8 “立体几何”大题的考法研究（Word练习）-【创新方案】2024年高考数学(文科)二轮复习专题辅导与测试（老教材）

专题跟踪检测（八） “立体几何”大题的考法研究 1．如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，M，N分别是AC和BB1的中点． (1)求证：MN∥平面A1B1C； (2)若AB＝3，BC＝4，AC＝6，AA1＝3，求三棱锥C1-A1B1C的体积． 解：(1)证明：如图，取BC的中点D，连接ND，MD， 则有ND∥B1C，MD∥AB，又ND⊄平面A1B1C，B1C⊂平面A1B1C，所以ND∥平面A1B1C； 因为A1B1∥AB，所以有MD∥A1B1，又MD⊄平面A1B1C，A1B1⊂平面A1B1C，所以有MD∥平面A1B1C，又ND∩MD＝D，所以平面MND∥平面A1B1C， 因为MN⊂平面MND，所以MN∥平面A1B1C. (2)VC1-A1B1C＝VC-A1B1C1，因为AB＝3，BC＝4，AC＝6，所以有cos∠ABC＝＝－，所以sin∠ABC＝，则S△ABC＝×3×4×＝， 则三棱锥C-A1B1C1的体积为V＝×3×＝， 所以三棱锥C1-A1B1C的体积为. 2.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC为等腰直角三角形，AB⊥BC，AA1＝2AB＝4，M，N分别为CC1，BB1的中点，G为棱AA1上一点，且A1B⊥NG. (1)求证：A1B⊥GM； (2)求点A1到平面MNG的距离． 解：(1)证明：由题意，平面ABB1A1⊥平面BCC1B1， 因为MN⊥BB1，所以MN⊥平面ABB1A1， 因为A1B⊂平面ABB1A1，所以MN⊥A1B， 又NG⊥A1B，MN⊂平面MNG，NG⊂平面MNG，MN∩NG＝N，所以A1B⊥平面MNG， 因为GM⊂平面MNG，所以A1B⊥GM. (2)设A1B与GN交于点E. 在Rt△A1BB1中，cos∠A1BB1＝＝. 在Rt△BNE中，cos∠EBN＝＝＝， 所以BE＝，则A1E＝2－＝. 因为A1B⊥平面MNG， 所以A1E就是点A1到平面MNG的距离，即点A1到平面MNG的距离为. 3．如图1，平面五边形ABCDE中，AB∥CD，∠BAD＝90°，AB＝2，CD＝1，△ADE是边长为2的正三角形．现将△ADE沿AD折起，得到四棱锥E-ABCD(如图2)，且DE⊥AB. (1)求证：CD⊥AE； (2)在棱AE上是否存在点F，使得DF∥平面BCE？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 解：(1)证明：由已知得，AB⊥AD，AB⊥DE， ∵AD∩DE＝D，AD⊂平面ADE，DE⊂平面ADE， ∴AB⊥平面ADE，又∵CD∥AB， ∴CD⊥平面ADE， ∵AE⊂平面ADE，∴CD⊥AE. (2)在棱AE上存在点F，使得DF∥平面BCE， 此时＝.理由如下： 假设存在点F为AE的中点，设BE的中点为G，连接CG，FG，如图， 则FG∥AB，FG＝AB， 又AB∥CD，且CD＝AB， ∴FG∥CD，且FG＝CD， ∴四边形CDFG是平行四边形， 即DF∥CG，∵CG⊂平面BCE，且DF⊄平面BCE， ∴DF∥平面BCE， ∴在棱AE上存在点F，使得DF∥平面BCE， 此时＝. 4．(2023·全国甲卷)如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，A1C⊥平面ABC，∠ACB＝90°. (1)证明：平面ACC1A1⊥平面BB1C1C； (2)设AB＝A1B，AA1＝2，求四棱锥A1-BB1C1C的高． 解：(1)证明：因为A1C⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以A1C⊥BC， 因为∠ACB＝90°，所以BC⊥AC， 又A1C∩AC＝C，A1C，AC⊂平面ACC1A1， 所以BC⊥平面ACC1A1， 又BC⊂平面BB1C1C， 所以平面ACC1A1⊥平面BB1C1C. (2)如图，过点A1作A1H⊥CC1，交CC1于点H，由(1)知平面ACC1A1⊥平面BB1C1C，又平面ACC1A1∩平面BB1C1C＝CC1，A1H⊂平面ACC1A1，所以A1H⊥平面BB1C1C， 即四棱锥A1-BB1C1C的高为A1H. 由题意知AB＝A1B，BC＝BC，∠A1CB＝∠ACB＝90°，则△ACB≌△A1CB，故CA＝CA1. 又AA1＝2，∠ACA1＝90°， 所以A1C1＝CA1＝. 由S△CA1C1＝·CA1·A1C1＝·A1H·CC1， 得A1H＝＝＝1， 故四棱锥A1-BB1C1C的高为1. 5.如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，P为AB边上一动点，PD∥BC交AC于点D，现将△PDA沿PD翻折至△PDA′. (1)△PDA沿PD翻折中是否会改变二面角C-BA′-P的大小，并说明理由； (2)若PB＝CB＝2PD＝2，E是A′C的中点．求证：DE∥平面A′PB，并求当平面PDA′⊥平面PBCD时，四棱锥A′-PBCD的体积． 解：(1)△PDA沿PD翻折中不会改变二面角C-BA′-P的