“数列”大题规范增分练（Word练习）-【创新方案】2024年高考数学(文科)二轮复习专题辅导与测试（老教材）

“数列” 大题规范增分练 1．已知数列{an}满足a1＝1，nan＋1＝2(n＋1)an，设bn＝. (1)求b1，b2，b3； (2)判断数列{bn}是否为等比数列，并说明理由； (3)求{bn}的前10项和S10. 解：(1)由条件可得an＋1＝an.将n＝1代入得a2＝4a1，而a1＝1，所以a2＝4.将n＝2代入得a3＝3a2，所以a3＝12.从而b1＝1，b2＝2，b3＝4. (2){bn}是首项为1，公比为2的等比数列．理由如下： 由条件可得＝，即bn＋1＝2bn.又b1＝1，所以{bn}是首项为1，公比为2的等比数列． (3)由(2)可得Sn＝＝2n－1，所以S10＝210－1＝1 023. 2．已知等比数列{an}满足a1＋a2＝20，a3－a1＝60，n∈N*. (1)求{an}的通项公式； (2)记bn＝log2an，cn＝＋，求数列{cn}的前n项和Sn. 解：(1)设数列{an}的公比为q， 因为a1＋a2＝20，a3－a1＝60， 所以a1＋a1q＝20，a1q2－a1＝60， 两式作商得，q－1＝3，所以q＝4，a1＝4， 故{an}的通项公式为an＝4·4n－1＝22n. (2)bn＝log2an＝log222n＝2n， 所以cn＝＋＝＋ ＝1＋＋1－＝2＋. 故Sn＝2＋＋2＋＋…＋2＋＝2n＋＝2n－＋1. 3．设等比数列{an}的前n项和为Sn，已知Sn＋Sn＋1＝3an＋1－2，且a1＝1. (1)求数列{an}的通项公式； (2)已知数列{cn}是等差数列，且c1＝a1，c3＝S2，设bn＝an·cn，求数列{bn}的前n项和Tn. 解：(1)∵Sn＋Sn＋1＝3an＋1－2，∴Sn－1＋Sn＝3an－2(n≥2)， 两式相减得an＋an＋1＝3an＋1－3an，整理得an＋1＝2an(n≥2)， ∵当n＝1时，a1＋S2＝3a2－2， ∴2a1＋a2＝3a2－2. ∴2a2＝4.∴a2＝2. ∴a2＝2a1，an＋1＝2an(n∈N*)． ∴数列{an}是以1为首项，2为公比的等比数列． ∴an＝2n－1. (2)由(1)得c1＝1，c3＝S2＝a1＋a2＝3， ∴d＝＝1. ∴cn＝n.∴bn＝n·2n－1. ∴Tn＝1×20＋2×21＋…＋n·2n－1. ∴2Tn＝1×21＋2×22＋…＋(n－1)·2n－1＋n·2n. 两式相减得－Tn＝1＋21＋22＋…＋2n－1－n·2n＝－n·2n＝(1－n)2n－1， ∴Tn＝(n－1)2n＋1. 4．已知{an}是递增的等差数列，a1＋a5＝18，a1，a3，a9分别为等比数列{bn}的前三项． (1)求数列{an}和{bn}的通项公式； (2)删去数列{bn}中的第ai项(其中i＝1,2,3，…)，将剩余的项按从小到大的顺序排成新数列{cn}，求数列{cn}的前n项和Sn. 解：(1)设数列{an}的公差为d，d>0，数列{bn}的公比为q， 由已知得解得a1＝3，d＝3，所以an＝3n. 因为b1＝a1＝3，q＝＝3，所以bn＝3n. (2)由题意可知新数列{cn}为b1，b2，b4，b5，…， 则当n为偶数时，Sn＝＋＝＋＝， 则当n为奇数时，Sn＝Sn－1＋cn＝Sn－1＋b3－2＝＋3， 综上，Sn＝ 5．已知{an}是等差数列，{bn}是等比数列(公比不为1)，{bn}的前n项和为Tn，且a1＝b1＝3，a4＝b2，a1a5＝T3. (1)求数列{an}，{bn}的通项公式； (2)设cn＝，{cn}的前n项和为Mn.对于任意正整数n，当Mn<m恒成立时，求m的最小值． 解：(1)设{an}的公差为d，{bn}的公比为q， 由已知可得且q≠1， 解得 所以{an}的通项公式为an＝n＋2， {bn}的通项公式为bn＝3×2n－1. (2)由(1)知cn＝＝，则＝×3×2n－1＝. 所以{cn}为等比数列，公比为，首项为. 所以Mn＝＝. 因为Mn<m恒成立，所以<m. 而<，所以m≥， 所以m的最小值为. 学科网（北京）股份有限公司 $$