“立体几何”大题规范增分练（Word练习）-【创新方案】2024年高考数学(文科)二轮复习专题辅导与测试（老教材）

“立体几何”大题规范增分练 1．如图，平面ABFE⊥平面ABCD，四边形ABCD和四边形ABFE均为正方形，CG∥BF，BF＝2CG＝2. (1)求证：平面ADE∥平面CGF； (2)求多面体ABCDEFG的体积． 解：(1)证明：因为CG∥BF，所以B，C，G，F四点共面，所以平面CGF即为平面BCGF， 因为四边形ABCD为正方形，所以AD∥BC，又BC⊂平面CGF，AD⊄平面CGF，所以AD∥平面CGF，四边形ABFE为正方形，所以AE∥BF，又BF⊂平面CGF，AE⊄平面CGF，所以AE∥平面CGF，又AD∩AE＝A，AD⊂平面ADE，AE⊂平面ADE，所以平面ADE∥平面CGF. (2)多面体ABCDEFG可看成三棱柱ADE-BCF和四棱锥G-CDEF组合而成，因为ABFE为正方形，所以AB⊥AE，又平面ABFE⊥平面ABCD，平面ABFE∩平面ABCD＝AB，AE⊂平面ABFE，所以AE⊥平面ABC，又AD⊂平面ABCD，所以AE⊥AD，又AB⊥AD，AB⊥AE，AD∩AE＝A，AD⊂平面AED，AE⊂平面AED，所以AB⊥平面ADE，所以三棱柱ADE-BCF的体积V1＝S△ADE·AB＝×2×2×2＝4，四棱锥G-CDEF的体积V2＝2VG-CDF＝2VD-CFG＝2×S△FCG×CD＝2××CG·BC·CD＝2×××1×2×2＝，所以多面体ABCDEFG的体积V＝V1＋V2＝4＋＝. 2.如图，在四棱锥E-ABCD中，四边形ABCD为平行四边形，△BCE为等边三角形，点O为BE的中点，且AC＝BC＝2OA＝2. (1)证明：平面ABE⊥平面BCE； (2)若AB＝AE，求E到平面ABCD的距离及四棱锥E-ABCD的体积． 解：(1)证明：如图所示，连接OC，则OC＝， 则AC2＝OA2＋OC2， 则OC⊥OA. 因为△BCE为等边三角形， 所以OC⊥BE，又OA∩BE＝O，OA⊂平面ABE，BE⊂平面ABE，所以OC⊥平面ABE， 又因为OC⊂平面BCE，所以平面ABE⊥平面BCE. (2)因为AB＝AE，O为BE的中点，所以OA⊥BE. 又AO⊥OC，BE∩OC＝O，BE⊂平面BCE，OC⊂平面BCE，所以AO⊥平面BCE. 设E到平面ABCD的距离为h， 因为AB＝＝， 所以△ABC的面积为×× ＝. 由VA-BCE＝VE-ABC，得×1××2×＝h×， 则h＝.故VE-ABCD＝××2×＝. 3.如图，正三棱柱ABC-A1B1C1的体积为6，AB＝2，P是△A1B1C1的中线A1D上的点． (1)求证：AP⊥BC； (2)经过BC且与AP垂直的平面交AP于点E，当三棱锥E-ABC的体积最大时，求PD的长． 解：(1)证明：在正三棱柱ABC-A1B1C1中，A1D是△A1B1C1的中线，∴A1D⊥B1C1，又AA1⊥平面A1B1C1，B1C1⊂平面A1B1C1，∴AA1⊥B1C1，而AA1∩A1D＝A1，AA1，A1D⊂平面AA1D，∴B1C1⊥平面AA1D，又P∈A1D，即AP⊂平面AA1D， ∴B1C1⊥AP，而BC∥B1C1，∴BC⊥AP. (2)设线段BC的中点为F，由VABC-A1B1C1＝6，AB＝2，得AA1＝2，AF＝3，若三棱锥E-ABC的体积最大，则点E到平面ABC的距离最大，∵AP⊥平面BCE，∴AP⊥EF，∴点E在以AF为直径的圆上，作出截面AFDA1，如图，易知点E到平面ABC的最大距离为AF＝，此时，∠A1AE＝∠FAE＝45°，∴A1P＝AA1＝2， ∴PD＝1. 4.如图，在四棱锥P-ABCD中，△ABD为等边三角形，△BCD为等腰三角形，∠BCD＝120°，E为PA的中点． (1)求证：DE∥平面PBC； (2)若PD⊥底面ABCD，且PD＝BC＝2，求点E到平面PBC的距离． 解：(1)证明：如图所示，取AB的中点F，连接EF，DF，∵△BCD为等腰三角形，且∠BCD＝120°， ∴∠DBC＝30°， 又∵△ABD为等边三角形，且F为AB的中点， ∴∠BDF＝30°，∴∠DBC＝∠BDF， ∴DF∥BC，又∵DF⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，∴DF∥平面PBC， 又∵E，F分别为PA，AB的中点，∴EF∥PB， 又∵EF⊄平面PBC，PB⊂平面PBC， ∴EF∥平面PBC. 又∵EF∩DF＝F，且EF，DF⊂平面DEF， ∴平面DEF∥平面PBC，∵DE⊂平面DEF， ∴DE∥平面PBC. (2)连接CF，在等腰△BCD中， ∵BC＝2，∠BCD＝120°，∴BD＝2， ∴PB＝4，PC＝2. 在△PBC中，由余弦定理， 得cos∠PBC＝＝， ∵∠PBC∈， ∴sin∠PBC＝，∴S△PBC＝×PB×BC×sin∠PBC＝.在Rt△BCF中，FB＝，BC＝2，则S