“函数与导数”大题规范增分练（Word练习）-【创新方案】2024年高考数学(文科)二轮复习专题辅导与测试（老教材）

“函数与导数”大题规范增分练 1．设函数f(x)＝a2x2＋ax－3ln x＋1，其中a>0. (1)讨论f(x)的单调性； (2)若y＝f(x)的图象与x轴没有公共点，求a的取值范围． 解：(1)由题意知，函数f(x)的定义域为(0，＋∞)， f′(x)＝2a2x＋a－＝(a>0)． 令f′(x)＝0，则2a2x2＋ax－3＝0， 即(ax－1)(2ax＋3)＝0. 又a>0，x>0，∴ax－1＝0，∴x＝. 当x∈时，f′(x)<0，f(x)在上是减函数；当x∈时，f′(x)>0，f(x)在上是增函数． (2)由(1)知f(x)在上是减函数，在上是增函数． 若y＝f(x)的图象与x轴没有公共点，则f(x)min>0，故f(x)min＝f＝a2×2＋a×－3ln＋1>0，∴3ln a>－3， ∴ln a>－1.∴a>e－1＝. ∴a的取值范围是. 2．已知f(x)＝asin x＋x2ex－ax－xexsin x. (1)当f(x)有两个零点时，求a的取值范围； (2)当a＝1，x>0时，设g(x)＝，求证：g(x)≥x＋ln x. 解：(1)由题知，f(x)＝(xex－a)(x－sin x)有两个零点，∵x－sin x＝0时，x＝0， 故xex－a＝0有一个非零实根， 设h(x)＝xex，得h′(x)＝(x＋1)ex， ∴h(x)在(－∞，－1)上单调递减，在(－1，＋∞)上单调递增． 又h(－1)＝－，h(0)＝0，x>0时，h(x)>0； x<0时，h(x)<0， 结合图象(图略)可知，a的取值范围是∪(0，＋∞)． (2)证明：由题意知，g(x)＝＝xex－1. 要证xex－1≥x＋ln x＝ln(xex)， 即证xex－ln(xex)－1≥0.令t＝xex>0， 设H(t)＝t－ln t－1(t>0)， 则H′(t)＝1－＝， ∴H(t)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．∴H(t)≥H(1)＝0，∴xex－1≥x＋ln x. ∴g(x)≥x＋ln x. 3．(2023·绵阳模拟)已知函数f(x)＝ax2－bx＋ln x(a，b∈R)． (1)若a＝1，b＝3，求函数f(x)的单调递增区间； (2)若b＝0时，不等式f(x)≤0在[1，＋∞)上恒成立，求实数a的取值范围． 解：(1)由题意，得x>0，当a＝1，b＝3时，f(x)＝x2－3x＋ln x， f′(x)＝2x－3＋＝. 令f′(x)>0，解得0<x<或x>1，故f(x)的单调递增区间为，(1，＋∞)． (2)f(x)＝ax2＋ln x≤0在[1，＋∞)上恒成立， 即a≤－在区间[1，＋∞)上恒成立． 设g(x)＝－，x≥1，则g′(x)＝. 令g′(x)>0，解得x>，此时g(x)单调递增， 令g′(x)<0，解得1≤x<，此时g(x)单调递减， 故g(x)min＝g()＝－. 故a≤－， 即实数a的取值范围是. 4．已知函数f(x)＝(1＋x)a，g(x)＝1＋ax，a∈R. (1)当a＝3时，求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程； (2)若正数a使得f(x)≥g(x)对x∈[0，＋∞)恒成立，求a的取值范围． 解：(1)当a＝3时，f(x)＝(1＋x)3，求导得f′(x)＝3(1＋x)2，则f′(0)＝3，f(0)＝1， 所以函数y＝f(x)在(0，f(0))处的切线方程是y＝3x＋1，即3x－y＋1＝0. (2)令函数F(x)＝f(x)－g(x)＝(1＋x)a－1－ax，求导得F′(x)＝a[(1＋x)a－1－1]． 当a＝1时，f(x)＝1＋x，g(x)＝1＋x，f(x)≥g(x)对x∈[0，＋∞)恒成立． 当a>1时，由x>0，得F′(x)>0，即F(x)在[0，＋∞)上单调递增，则F(x)≥F(0)＝0，因此f(x)≥g(x)对x∈[0，＋∞)恒成立． 当0<a<1时，由x>0， 得F′(x)<0，F(x)在[0，＋∞)上单调递减，则对x∈(0，＋∞)，F(x)<F(0)＝0，因此f(x)<g(x)对x∈(0，＋∞)恒成立，不符合题意．综上，a的取值范围是[1，＋∞)． 学科网（北京）股份有限公司 $$